2016全国卷数学2

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2016全国卷数学2(一)
2016年全国卷数学2卷word版

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

（1）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 （A）(3,1)（B）(1,3)（C）(1,)（D）(,3)

（2）已知集合A1,2,3，Bx(x1)(x2)0,xZ，则AB （A）1（B）1,2（C）0,1,2,3（D）1,0,1,2,3





（3）已知向量a1,m,b32，且abb，则m



（A）－8（B）－6 （C）6 （D）8

（4）圆xy2x8y130的圆心到直线axy10 的距离为1，则a （A）

2

2

43

（B）（C

D）2 34

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿

者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π （7）若将函数y2sin2x的图像向左平移

k2k

（C）x

2

（A）x



个单位长度，则评议后图象的对称轴为 12

kkZ（B）xkZ 626kkZ（D）xkZ 12212

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的

x2,n2,依次输入的a为2,2,5，则输出的S

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34 （9）若cos(



3

)，则sin2 45

7117

（A） （B）（C（D）–

255525

（10）从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2，…，xn，y1，y2，…，



yn，构成n个数对x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其中两数的平

方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

（A）

4m2m4n2n

（B） （C） （D）

nnmm

x2y2

（11）已知F1,F2是双曲线E221的左，右焦点，点M在E

ab

上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1

1

,则E的离心率为

3

（A

（B）

（12）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y

m

3

（C

（D）2 2

x1

与yf(x)图像的交点为x

(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则(xiyi)

i1

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

45

(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA，cosC，a1，则b.

513

(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. （3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x2)的切线，则b。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

，S728.记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如Sn为等差数列an的前n项和，且an=1

0.9=0，lg99=1.

（I）求b1，b11，b101；

（II）求数列bn的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.（本小题满分12

分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点

O，AB5，AC6，点E,F分别在AD,CD

上，AECF

5

，EF交BD于点H.将△4

DEF沿EF折到△DEF的位置，

OD（I）证明：DH平面ABCD； （II）求二面角BDAC的正弦值.

20. （本小题满分12分）

x2y2

1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为kk0的直线交E于A,M两点，点已知椭圆E:t3N在E上，MANA

（I）当t4，AMAN时，求AMN的面积； （II）当2AMAN时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数f(x)

x2x

e的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20; x2

exaxagx）=(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)(II)证明：当a[0,1)时，函数（2

x

的值域.

2016全国卷数学2(二)
2016高考数学全国2卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试2【2016全国卷数学2】

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

， （B）(1，3) 3) （C）(1,+) （D）(-，（A）(31)

（2）已知集合A{1,2,3}，B{x|(x1)(x2)0,xZ}，则AB

1，2，3} （D）{1，01，，2，3} ，2} （C）{0，（A）{1} （B）{1

（3）已知向量a(1,m)，b=(3,2)，且(a+b)b，则m= （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

22xy2x8y130的圆心到直线axy10 的距离为1，则a= （4）圆

43



（A）3 （B）4 （C

（D）2



（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

（7）若将函数y=2sin 2x的图π

像向左平移12评议后图象的对称轴为 kππ

（A）x=– (k∈Z)

26kππ

（B）x= (k∈Z)

26kππ

（C）x= (k∈Z)

212kππ

（D）x=+ (k∈Z)

212

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34 π3

（9）若cos(–α)= sin 2α=

45

7117

（A （B （C）– （D）–

255525

（10）从区间0,1随机抽取2n个数



x1,x2，xyy…，yn，

…，n，1，2，构成n个数对

x1,y1，

x2,y2，…，xn,yn，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法

得到的圆周率 的近似值为

4n2n4m2m

（A）m （B）m （C）n （D）n

x2y2

（11）已知F1，F2是双曲线E221的左，右焦点，点M在E上，M F1与x 轴垂

ab

直，sinMF2F1

（A

（B）

1

,则E的离心率为 3

3

（C

（D）

2

x1yf(x)

（12）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与图

x

m

像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym), 则

(xy)

i

i

i1

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

45

(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .

513

(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。 （16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b= 。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

，S728.记bn=lgan，其中x表示不超过xSn为等差数列an的前n项和，且an=1

的最大整数，如0.9=0，lg99=1. （I）求b1，b11，b101；

（II）求数列bn的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=

5

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置，OD 4

（I）证明：DH平面ABCD； （II）求二面角BDAC的正弦值.

20. （本小题满分12分）

x2y2

1的焦点在x轴上，已知椭圆E:A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,Mt3

两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，AMAN时，求△AMN的面积； （II）当2AMAN时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数f(x)

x2x

e 的单调性，并证明当x >0时，(x2)exx20; x2

exaxagx）=(x0) 有最小值.设g（x）的最小值为(II)证明：当a[0,1) 时，函数（2

xh(a)，求函数h(a) 的值域.

2016全国卷数学2(三)
2016全国卷II(数学理)解析版

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标II

理 科 数 学【2016全国卷数学2】

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A 【解析】由已知得Bx2x1，故AB1,0，故选A

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ）

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

【答案】

B 

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．

（4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1a3a5 =21，则a3a5a7 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

【答案】

B

1log2(2x),x1,（5）设函数f(x)x1,f(2)f(log212)( ) 2,x1,

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

【答案】C

【解析】由已知得f(2)1log243，又log2121，所以f(log212)2log21212log266，故 f(2)f(log212)9．

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A）1111 （B） （C） （D） 8765

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图所示，，设正方体棱长为a，则VAA1B1D1

部分体积的比值为1131315aa，故剩余几何体体积为a3a3a3，所以截去部分体积与剩余326661． 5

D1C1

AD1

C

AB

（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=

（A）26 （B）8

（C）46 （D）10

【答案】C

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B

【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a14，b18；b4；a10；a6；a2；b2，此时ab2程序结束，输出a的值为2，故选B．

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π

【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB1121RRR336，故R6，则球O的表面积为 326

S4R2144，故选C． C

O

AB

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

【答案】

B

的运动过程可以看出，轨迹关于直线x

2对称，且f()f()，且轨迹非线型，故选B． 

42

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2

【答案】

D

2016全国卷数学2(四)
2016高考数学全国卷二

1~12 A C D A B ; C B C D C ; A B

2016全国卷数学2(五)
2016年新课标全国卷Ⅱ理科数学

2016年新课标全国卷Ⅱ理科数学（含答案）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 A．(3,1) B．(1,3) C．(1,) D．(,3) 2．已知集合A{1,2,3}，B{x|(x1)(x2)0,xZ}，则AB A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{1,0,1,2,3} 3．已知向量a(1,m)，b(3,2)，且(ab)b，则m A．8 B．6 C．6 D．8

4．圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a

43

A． B． C

D．2

34

5．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A．24 B．18 C．12

小明老年公寓

D．9

6．右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 A．20 B．24 C．28 D．32

7．若将函数y2sin2x的图象向左平移A．x



12

个单位长度，则平移后图象的对称轴为

kk(kZ) B．x(kZ)

2626

C．x

kk(kZ) D．x(kZ) 212212

8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现 该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x2， n2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s

A．7 B．12 C．17 D．34

3

9．若cos()，则sin2

45A．



7117 B． C． D．【2016全国卷数学2】

252555

10．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,,xn,y1,y2,,yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，„，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似

值为

A．

4n2n4m2m

B． C． D．

nnmm

x2y2

11．已知F1，F2是双曲线E:221的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，

ab

1

sinMF2F1，则E的离心率为

3

A

B．

3

C

D．2 2

x1

与yf(x)图象的交点为x

12．已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y(x1,y1)，(x2,y2)，„，(xm,ym)，则(xiyi)

i1m

A．0 B．m C．2m D．4m

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAb

45

，cosC，a1，则

135

14．，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果mn，m，n∥，那么． ②如果m，n∥，那么mn． ③如果∥，m，那么m∥．

④如果m∥n，∥，那么m与所成的角和n与所成的角相等． 其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）

15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．

16．若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a11，S728．记bn[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]0，[lg99]1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和．

18．（本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60％的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF位置，OD

5

，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△DEF的

4

D

平面ABCD； （Ⅰ）证明：DH

（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值．

B

D

x2y2

20．（本小题满分12分）已知椭圆E:1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为

t3

k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA．

（Ⅰ）当t4，|AM||AN|时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2|AM||AN|时，求k的取值范围．

21．（本小题满分12分）． （Ⅰ）讨论函数f(x)

x2x

e的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20； x2

exaxa

（Ⅱ）证明：当a[0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，2

x

求函数h(a)的值域．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4–1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F．

（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

EDC

（Ⅱ）若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23．（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

xtcos,（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B

两点，|AB|l

ytsin,

的斜率．

24．（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲

11

已知函数f(x)|x||x|，M为不等式f(x)2的解集．

22（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，bM时，|ab||1ab|．

参考答案

一、选择题

二、填空题

21

． 14．②③④． 15．1和3． 16．1ln2． 13

13．

三、解答题

17．（Ⅰ）ann，bn[lgan][lgn]，b10，b11[lg11]1，b101[lg101]2．

（Ⅱ）因为lg10，lg101，lg1002，lg10003．所以1n9时，[lgn]0．当100n999时，[lgn]2．当n999时，[lgn]3． 所以数列{bn}的前1000项和T][lg2][lg3][lg1000]0901900231893． 1000b1b2b1000[lg118．（Ⅰ）设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为p1，则p10.200.200.100.050.55． （Ⅱ）设所求概率为p2，则p2

0.100.050.153

．

0.200.200.100.050.5511

2016全国卷数学2(六)
2016年高考全国卷2理科数学试题及答案解析

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