七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法

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七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法(一)
七年级下册数学《二元一次方程组》二元一次方程组 知识点整理

认识二元一次方程组

一、本节学习指导

重点理解二元一次方程组的解，二元一次方程组的解一定满足此二元一次方程组，这一点就跟前面学习的一元一次方程一样。这一节的知识主要是为后面学习求二元一次方程组的解做基础，如果有知识点不理解的话，也不用着急！待学完整章节了，相信你就能够理解了。

二、知识要点

1、二元一次方程组

（1）、概念：二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。

（2）、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：【重点】

使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；

②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；

③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。

2、二元一次方程组的解的讨论：【重点】

3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：【重点】

用含X的代数式表示Y,就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X,则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。

例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x为：____________.

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：

要抓住两个方面：①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0

（）（） 例：已知方程 （a-2）x|a|-1 - （b+3）yb2-8 = 3 是关于x、y的二元一次

方程，求a、b的值。

分析：1、题目中给出的方程明确说明是关于x、y的二元一次方程，那么我们就知道这两个未知数的系数都不会为零，即a-2≠0,b+3≠0

2、既然是二元一次方程，最高次数就是1,所以（|a|-1）=1,（b2-8）=1.

综合上面的可得出，由1条件得a≠2,b≠-3;由2条件得a=2或a=-2,b=3或b=-3

故求出：a=-2,b=3

5、求二元一次方程的整数解【重点】 解这种题要会分析，注意是整数解，往往求出来的是不等式形式，然后根据条件

求出整数解。

例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解。

思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。

解：用含x的代数式表示y， y = 9/2 - （3/4）x 用含y的代数式表示x， x = 6 - （4/3）y

因为是求正整数解，则：9/2 - （3/4）x > 0 , 6 - （4/3）y > 0

所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2

所以，当 y = 1时，x = 6 - 4/3 = 14/3 ,舍去 ;

当 y = 2时，x = 6 - 8/3 = 10/3 ,舍去 ;

当 y = 3时，x = 6 - 12/3 = 2 , 符合 ;

当 y = 4时，x = 6 - 16/3 = 2/3 ,舍去 .

三、经验之谈：

这一节的重中之重是上面总结的第3、4个知识点，知识点多但是简单，希望不要在这里丢分，特别是第4点知识很简单，也容易出错。

本文 由 索罗学院 整理

七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法(二)
初一数学检测(二元一次方程组、一元一次不等式组)

数学检测

一、耐心填一填，一锤定音!（每小题2分，共30分）

1．已知二元一次方程3x5y8，用含x的式子表示y，则y＝_____；若y的值为2，则x的值为_____．

2．二元一次方程2x5y30的所有正整数解为_____．

3．方程3xay0的一个解是x3，

2，

那么a的值为_____．

y4．若

x1

，x2，y2；

都是方程axby4的解，则a_____，b_____． y0

5．解方程组2x3y10，



3x3y5时，用_____法比较简便，它的解是_____．

6．若5(xy1)2

xy0，那么x2y1_____．

7．若甲队有x人，乙队有y人，若从甲队调出10人到乙队，则甲队人数是乙队人数的一半，可列方程为_____．

8．在中国古代的《孙子算经》中记载了一道广为人知的题目“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个．”设大马x匹，小马y匹．则列方程组为_____．

9．x的

1

2

与5的差不小于3，用不等式可表示为______． 10．当x______时，式子3x－5的值大于5x+3． 11．不等式x≤3

2【七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法】

的正整数解为______，不等式组－2≤x<1的整数解为______． 12．已知x>2，化简x－｜2－x｜=______．

13．若不等式2x<a的解集为x<2，则a=______．

14．x≥2的最小值是a，x≤6的最大值是b，则ab___________． 15．把16根火柴首尾相接，围成一个长方形（不包括正方形），则最多能围出不同形状的长方形_________个．

二、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共30分） 1．下列各式中是二元一次方程的是（ ）． Ａ．x2

40

Ｂ．x3

Ｃ．xyz0 Ｄ．x2y

2．已知方程组2xy5，①



x2y6，②下列说法正确的是（ ）

Ａ．方程①的解是方程组的解

Ｂ．方程②的解是方程组的解 Ｃ．方程组的解是方程①的解 Ｄ．方程①和②没有公共解

3．下列各组数值是方程

1

2

xy6的解的一组是（ ） Ａ．x0，y6

Ｂ．x8，

．y

Ｃ．x3，

10．y

Ｄ，x3，

2．

y2．

4．如果二元一次方程组

xy2a，

4a

的解是二元一次方程3x5y280的一个解，则a（ ）xyＡ．3 Ｂ．2 Ｃ．7 Ｄ．6

5．已知a<b，则下列不等式中不正确的是（ ）． Ａ．4a<4b Ｂ．a+4<b+4 Ｃ．－4a<－4b Ｄ．a－4<b－4

6．满足－1<x≤2的数在数轴上表示为（ ）．

A． Ｂ． Ｃ．

Ｄ． 7．如果｜x－2｜=x－2，那么x的取值范围是（ ）． Ａ．x≤2 Ｂ．x≥2 Ｃ．x<2 Ｄ．x>2

8．从甲地到乙地有16千米，某人以4千米/时~8千米/时的速度由甲地到乙地，则他用的时间大约为（ ）．

Ａ．1小时~2小时 Ｂ．2小时~3小时 Ｃ．3小时~4小时 Ｄ．2小时~4小时 9．下列不等式总成立的是（ ） Ａ．4a2a

Ｂ．a20

Ｃ．a2a

Ｄ．1

a22

≤0

10．不等式组2x30，



3x50的整数解的个数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

三、用心做一做，马到成功！（本大题共40分） 1．解下列方程组：

（1）x2y3，

2x5y15；

（3）3(x1)y5，

5(y1)3(x5)．【七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法】

2．解不等式x2

2

(x1)1．

5x23(x1)3．解不等式组

，13，并求其整数解．

2x1≤72

，

（2）2x3y4，

2x3y6．

2(xy)x（2）

y

1，34

6(xy)4(xy)12．

4．某商场购进商品后，均加价40％作为销售价．现商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品分别抽到7折和9折，共付款399元．已知这两种商品原销售价之和为490元．问这两种商品的进价分别为多少元？

6．武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目．已知甲工程队单独完成此项目需30天，每天施工费为0.6万元；乙工程队单独完成此项目需60天，每天施工费为0.5万元．要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？

七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法(三)
七年级数学解二元一次方程组与不等式练习题

解二元一次方程组专题训练

一、基础过关

4x3y6,1．用加、减法解方程组，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应4x3y2.

先将两个方程组相________．

2．解方程组2x3y1,用加减法消去y，需要（ ）

3x6y7.

A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2

3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（ ）

A．266 B．288 C．-288 D．-124

4．已知x、y满足方程组2x5y9,，则x：y的值是（ ）

2x7y17

A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：8

5．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（ ）

11x,x,x2,x2,22 A． B． C． D．y2y2y1y1

22

6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（ ）

A．1 B．-1 C．0 D．m-1

7．若25m+2n+233xy与-x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________． 34

8．用加减法解下列方程组：

（1）

3m2n16,2x3y4, （2） 3mn1;4x4y3;

x3y57,5x2y3,3（3） （4）2

x6y11;x42y32.53

二、综合创新

9．已知关于x、y的方程组3x5ym2,的解满足x+y=-10，求代数m2-2m+1的值．

2x3ym

10．（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元？

（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？有鸡笼多少个？

11．在解方程组axby2,x3,x2,时，哥哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得，求a+b+c

cx7y8y2.

的值．



12．（1）解方程组x

y11,

23

3x2y10.

（2）已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立，

三、培优训练

13．（探究题）解方程组2005x2006y2004,

2004x2005y2003.



自我小结：

成功之处：

不足之处： y2.求A、B的值．

•

一元一次不等式专题训练

一、填空题：

1． 用不等式表示：① a大于0_____________； ②

是负数____________；

③ 5与x的和比x的3倍小______________________.

2．不等式 的解集是__________________.

3．用不等号填空：若.

4．当x_________时，代数代

5．不等式组 的解集是__________________.

6．不等式

7．的正整数解是_______________________. 的最大值是b，则 的值是正数. 的最小值是a，

8．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________.

9．编出解集为

的一元一次不等式为______________________.

10．若不等式组 的解集是空集，则a、b的大小关系是_______________.

二、选择题：

11．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）

2 A．2x－1＞0 B．-1＜2 C．3x-2y＜-1 D．y+3＞5

12．不等式

的解集是（ ）

A．x≤ B．x ≥ C．x≤ D．x ≥

13．一元一次不等式组 的解集是 （ ）

A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜-3 D．x＜2

14．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集（ ）

A． B． C．x+1≥-1 D．-2x＞4

15．下列两个不等式是同解不等式的是 （ ）

A．C．

与与 B．与 D． 与

16．解下列不等式组，结果正确的是( )

A．不等式组 的解集是x＞3 B．不等式组 的解集是-3＜x＜-2

C．不等式组 的解集是x＜-1 D．不等式组 的解集是-4＜x＜2

17．若 ，则a只能是（ ）

A．a≤-1 B．a＜0 C．a≥-1 D．a≤0

18．关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是( ) A．a＞3 B．a≤3 C．a＜3 D．a≥3

三、解一元一次不等式（或不等式组），并把它们的解集在数轴上表示出来.

19．6x＜7x-2 20．

四、解答题：

21． x为何值时，代数式 的值比代数式 的值大.

22．已知关于x、y的方程组.

（1）求这个方程组的解；

（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1.

23．已知方程组 的解为负数，求k的取值范围．

24．某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0。5℃，现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米）

成功之处：

不足之处：

七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法(四)
(七年级)二元一次方程组及解不等式组

二元一次方程组及解不等式组

1、二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1, 二元一次方程有无数多个解.

2、二元一次方程组：有一个解，可以用代入消元法和加减消元法解.

3、三元一次方程组：先转化为二元一次方程组. 4、应用题：解、设、列、解、验、答 5、典型例题：

①二元一次方程满足的条件：系数≠0，次数=1

②平方＋绝对值= 0

③已知方程（组）的解，求其它未知数的值

4、解不等式组的步骤：

（1）先求出各个不等式的解集

（2）将这些解集表示在同一个数轴上

（3）在数轴上找出这些解集的公共部分，就是这个不等式组的解集。

5、典型例题：①已知解集求未知数范围：看解集不等号方向是否改变，不变则系数＞0，改变则系数＜0 ②已知不等式（组）的解求未知数的值：令所求解集等于已知解集 ③已知不等式（组）的整数解求未知数的值：先求出解集，令解集满足一定条件 解法:

消元法

1）

用代入消元法的一般步骤是：

1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；

2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；

3.解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；

4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；

5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。[1] 例：解方程组 ：x+y=5①6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③

把③代入②，得6(5-y)+13y=89

得 y=59/7

把y=59/7代入③，得x=5-59/7

得x=-24/7

∴ x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

2）加减消元法

①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；

②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；

③解这个一元一次方程；

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。

用加减消元法解方程组的的第一种方法

例：解方程组：

x+y=9①

x-y=5②

解：①+②

得：2x=14

∴x=7

把x=7代入①

得：7+y=9

∴y=2

∴方程组的解是x=7

y=2

用加减消元法解方程组的的第二种方法

例：解方程组：

x+y=9①

x-y=5②

解：①+②

得：2x=14

∴x=7

①-②

得：2y=4

∴y=2

∴方程组的解是x=7

y=2

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction），简称加减法。

换元法

例2，（x+5)+(y-4)=8

（x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

设参数法

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为：5t+6*4t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4

图像法

二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。

三种解编辑

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：

唯一解

如方程组x+y=5①

6x+13y=89②

x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

有无数组解

如方程组x+y=6①

2x+2y=12②

因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

无解

如方程组x+y=4①

2x+2y=10②，

因为方程②化简后为

x+y=5

这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组： ax+by=c

dx+ey=f

当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

其它编辑

注意

二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！不止限制于一种。 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

重点：一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c>0)

列方程（组）解应用题

一概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 二常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题（同时出发）；

⑵追及问题（同时出发）；

⑶水中航行；

例：甲、乙两人在400m的环形跑道上同一起点同时背向起跑，25秒后相遇，若甲先从【七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法】

起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，则根据题意列方程组为___________________.

2． 配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

2、有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现要配制浓度为70%的药水300千

克，则需用浓度为60%的药水多少千克，需用浓度为90%的药水多少千克？

【例】某工厂去年的利润为200万。今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？

解：设去年的总产值为x万元，总支出y万元。则有 根据上表可列方程组 x 解得：  y 答：去年的总产值为 万元，总支出 万元。

1、某企业去年的总收入比总支出多500万元，今年的总收入比去年增加10％，总支出节约15％，因此总收入比总支出多800万元。求去年的总收入和总支出。

七年级数学下册二元一次不等式方程组的解法(五)
人教版七年级数学下二元一次方程及不等式(组)专题复习

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第八章 二元一次方程组

本章知识结构图：

知识要点

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为axbyc(a、b、c为常数，并且a0，b0)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。 例题与习题：

1、下列方程中是二元一次方程的有（ ）个。

①

5m2n12 ② 74x116y1 ③ 2x35

z2 ④ 1

ab

13 ⑤ xy6 本试卷共8页，第1页

A.2 B.3 C.4 D.5

2、若方程(k24)x2(23k)x(k2)y3k0为二元一次方程，则k的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 2或-2 D.以上均不对。

3、如果x3是二元一次方程3x-2y=11的一个解，那么当y1

x1

3时，。

4、方程 2x+y=5的非负整数解为_________________.

5、在方程2(x+y)-3(y-x)=3中用含x的代数式表示y，则是（ ） A.y=5x-3 B.y=-x-3 C.y=-5x-3 D.y=-5x+3 6、已知

x3

y2

是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组

__。

7、 用代入消元法解下列方程组：

m12n3

xy（1）

x5y43x6y5 （2）

034 （3）32 4m3n7

2(3x4)3(y1)43

8 、 用加减消元法解下列方程组：

x1

21（1）7x4y23x6y24 （2）3y2

xy1

2

31

9.若方程组

xy8m

xy2m

的解满足2x5y1，则m=________.

10、解下列方程组：

3xy2z3mn（1）2xyz13 （2）

16

nt12

x2yz20

tm10 本试卷共8页，第2页

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