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变量之间的关系简单版教师版
一．选择题（共16小题）
1．（2014•南平）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（ ）
A．y=10x+30 B．y=40x C．y=10+30x D．y=20x
2．（2015•内江）函数y=A．x≤2 B．x≤2且x≠1
3．（2015•宿迁）函数y=+中自变量x的取值范围是（ ） D．x≠1 C．x＜2且x≠1 ，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
4．（2015•自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B． C．
D．
5．（2014•重庆）2014年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B． C． D．
6．（2014•娄底）函数 y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
7．（2015•黔南州）函数y=+的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4
8．（2015•广安）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（ ）
A．y=x+2
9．（2015•东西湖区校级模拟）函数的自变量x取值范围是（ ） B．y=x+2 2C．
y= D．
y=
A．x≠2 B．x≥2 C．x≥2且x≠1 D．x≥1且x≠2
10．（2012•河池）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2015•菏泽）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．（2015•巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ）
A．
B． C． D．
13．（2015•营口）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3
B．x≠5 C．x≥﹣3或x≠5 D．x≥﹣3且x≠5
中，自变量x的取值范围是（ ） 14．（2014•内江）在函数
y=
A．x≥﹣2且x≠1 B．x≤2且x≠1 C．x≠1 D．x≤﹣2
15．（2014春•讷河市校级期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B． C． D．
16．（2015•恩施州）函数
y=+x﹣2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2
二．填空题（共6小题）
17．（2015•丹东模拟）函数中，自变量x的取值范围是 ．
18．（2012•金华）甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
甲
19．（2015•大庆模拟）写出一个函数，使得满足下列两个条件：
①经过点（﹣1，1）；②在x＞0时，y随x的增大而增大．
你写出的函数是 ．
20．（2015•绥化）在函数
y=+（x﹣2）中，自变量x的取值范围是 ． 0
21．（2015春•碑林区期中）“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， 随 变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ．
22．（2015•哈尔滨）在函数
y=中，自变量x的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题）
23．（2015春•山亭区期末）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是
54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
24．（2015春•碑林区期中）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（千米）．
（1）写出y与x的关系式；
（2）这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？
（3）这车辆在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
25．（2015春•蓬溪县校级月考）长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按图所示方法粘合起来，粘合部分（图上阴影部分）的宽为3cm．
（1）求5张白纸粘合后的长度；
（2）设x张白纸粘合后总长为ycm．写出y与x之间的函数关系式；
（3）求当x=20时的y值，并说明它在题目中的实际意义．
26．（2015春•滑县期中）下面的图象反映的是小明从家跑步去图书馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买本，然后散步回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．
（1）图书馆离小明家有多远？小明从家到图书馆用了多少时间？
（2）图书馆离文具店有多远？
（3）小明在文具店停留了多少时间？
（4）小明从文具店回到家的平均速度是多少？
变量之间的关系中等难度教师版
一．选择题（共13小题）
1．（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2015•黄冈模拟）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为km/h
D．慢车的速度为125km/h
3．（2015•德城区模拟）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x=3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
4．（2014•衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（ ）
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A．小明看报用时8分钟
B．公共阅报栏距小明家200米
C．小明离家最远的距离为400米
D．小明从出发到回家共用时16分钟
5．（2014•德州）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店4千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
6．（2014•黄冈）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≥2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2且x≠0
7．（2015•广东模拟）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
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A．轮船的速度为20千米/小时 B．快艇的速度为千米/小时
C．轮船比快艇先出发2小时 D．快艇比轮船早到2小时
8．（2014•盘锦）已知，A、B两地相距120千米，甲骑自行车以20千米/时的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40千米/时的速度由起点B前往终点A．两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），则下图中正确反映s与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2014•防城港）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A．
B． C． D．
10．（2015•甘南州）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或﹣
11．（2015•新疆）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
第3页（共25页）
A． B． C． D．
12．（2014•重庆）夏天到了，某小区准备开放游泳池，物业管理处安排一名清洁工对一个无水的游泳池进行清洗，该工人先只打开一个进水管，蓄了少量水后关闭进水管并立即进行清洗，一段时间后，再同时打开两个出水管将池内的水放完，随后将两个出水管关闭，并同时打开两个进水管将水蓄满．已知每个进水管的进水速度与每个出水管的出水速度相同，从工人最先打开一个进水管开始，所用时间为x，游泳池内的蓄水量为y，则下列各图中能够反映y与x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
13．（2014•汕尾）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
第4页（共25页）
二．填空题（共6小题）
14．（2014•义乌市）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行
15．（2014•徐州）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移
2动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm，y与x的函
数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ．
16．（2015•郴州）函数y=
17．（2015•酒泉）在函数
y=
18．（2015•湖北模拟）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值等中，自变量x的取值范围是 ． 中，自变量x的取值范围是． 于 ．
19．（2013秋•新城区校级期末）如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论：
①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．
②这次比赛全程是10千米．
③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．
正确的结论为 ．
第5页（共25页）
变量之间的关系 知识要点分析梳理
变量之间的关系 表格法 关系式法
图象法
一、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 3、自变量与因变量的确定：
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。 （3）利用具体情境来体会两者的依存关系。 二、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 （1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； （3）结合实际情境理解它们之间的关系。 2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量； （3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。 三、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。 3、求两个变量之间关系式的途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。 （2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 4、关系式的应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
四、图象
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。 2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。 4、图象上的点：
（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； （2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。 （4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。 5、图象理解
（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； （2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。 五、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。 六、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
变量之间的关系 测试题
一、选一选
1．下面说法中正确的是 （ ） Ａ．两个变量间的关系只能用关系式表示
Ｂ．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系 Ｃ．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况 Ｄ．以上说法都不对
2．如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x之间的关系应该是 （ ） A．y=12x B.y=18x C.y=
23x D.y=x 32
3. 一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是 （ ）
A B C D
2
4．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s3t2t1，则当t4时，该物体所经过的路程为 （ ）
A.28米 B． 48米 C．57米 D． 88米
5．在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的 （ ） A．v2m2
2
B．vm1
C． v3m3 D．vm1
6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点„．用S1,S2分别表示乌龟和
兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是
（ ）
07．正常人的体温一般在37C左右,但一天中的不同时刻不尽相同,1反映了一天24小时内小红的体温变化情况,下列说法错误的是（ ）
A.清晨5时体温最低
如图
B.下午5时体温最高
C.这一天小红体温T0C的范围是36.5≤T≤37.5 D.从5时至24时,小红体温一直是升高的
那么，当输入数据8时，输出的数据是 （ ） A.
8888 B. C. D. 61636567
9. 如图2，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是 （ ） A.第3分时汽车的速度是40千米/时 B.第12分时汽车的速度是0千米/时 C.从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D.从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
10. 向高为10厘米的容器中注水，注满为止，若注水量V（厘米）与水深h（厘米）之间的关系的图象大致如图（
图3
3
3
图2
所示，则这个容器是下列四个图中的
11．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校到他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校．下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12
．已知变量x，y满足下面的关系【2015变量间的关系中考题】
则x，y之间用关系式表示为( )
3 x3C.y=－
x
A.y=
B.y=－D.y=
x 3
x 3
13．某同学从学校走回家，在路上遇到两个同学，一块儿去文化宫玩了会儿，然后回家，下列象能刻画这位同学所剩路程与时间的变化关系的是（ ）
14．地表以下的岩层温度y随着所处深度x的变化而变化，在某个地点y与x的关系可以由公式
y35x20来表示，则y随x的增大而（ ）
A、增大 B、减小 C、不变 D、以上答案都不对
15．某校办工厂今年前5个月生产某种产品总量（件）与时间（月）的关系如图1所示，则对于该厂生产这种产品的说法正确的是（ ）
Ａ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月生产总量逐月减少 Ｂ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均产总量与3月持平 Ｃ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均停止生产 Ｄ．1月至3月生产总量不变，4，5两月均停止生产
16．如图2是反映两个变量关系的图，下列的四个情境比较合适该图的是（ ） Ａ．一杯热水放在桌子上，它的水温与时间的关系 Ｂ．一辆汽车从起动到匀速行驶，速度与时间的关系 Ｃ．一架飞机从起飞到降落的速度与时晨的关系 Ｄ．踢出的足球的速度与时间的关系
17．如图3，射线l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则图中显示的他们行进的速度关系是（ ）
Ａ．甲比乙快 Ｂ．乙比甲快 Ｃ．甲、乙同速 Ｄ．不一定
18．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）
A.太阳光强弱 B.水的温度 C.所晒时间 D.热水器 19．长方形的周长为24厘米，其中一边为x（其中x0），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x
的关系可以写为（ ）
A、y=12x-x^2 B、y=3x C、y=12x D、y=12x+2x
20．如果没盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x之间的关系应该是（ ）
安徽省2015年中考数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请你“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）．
1.在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是（ ） A．－4 B．2 C．－1 D．3 2．计算8×2的结果是（ ）
A．10 B．4 C6 D．2
3．移动互联已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109
4．下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
5．与1＋最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A．1.4(1＋x)＝4.5 B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5 D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5 7．某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
．．A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ） A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
1 1
C．∠ADE＝∠ADC D．∠ADE＝∠ADC
23
9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
6
10．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数
y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（ ）
第10题图【2015变量间的关系中考题】
A．
B．
C．
D．
．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．－64的立方根是
12．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，⌒AB的长为2，则∠ACB的大小是 ．
O
13．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，„，若x、y、z表示这列数中的连
续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．
14．已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
1 1
①若c≠0，则＋＝1；②若a＝3，则b＋c＝9；
ab
第12题图
③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8． 其中正确的是 (把所有正确结论的序号都选上)．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
a1 1 1 15．先化简，再求值：＋·a＝－
2 a―1 1―a a
x－3 x
16．解不等式：1－．
36
2
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC(顶点是格线的交点)．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C3B2．
第17题图
18．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角
为30°，求楼房CD的高度(3＝1.7)．
第18题图
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)求两次传球后，球恰在B手中的概率； (2)求三次传球后，球恰在A手中的概率．
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况， 20．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP
⊥PQ． B
A B
第20题图1 第20题图2
(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
六、（本题满分12分）
21．如图，已知反比例函数y＝(1)求k1、k2、b的值； (2)求△AOB的面积；
(3)若M(x1，y1)、N(x2，y2)是比例函数yN各位于
哪个象限，并简要说明理由．
k
与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)、B(－4，m)． x
k
x1＜x2，y1＜y2，指出点M、x【2015变量间的关系中考题】
七、（本题满分12分）
22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
第22题图
八、（本题满分14分）
23．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC． (1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF；
(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求
AD
的值．
EF
第23题图1
F E
B
A
第23题图2
第六章 综合性问题
6.1 几何图形综合性问题
解题模式 【题型特点】 1.几何图形综合性问题是指综合研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，角的关系以及特定图形的判定和性质的问题，图形可能是由若干个基本几何图形组合而成．它不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题. 一般以相似为中心，以四边形和圆为重点，考查三角形、四边形、圆以及相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用． 一般说来，综合题由多个小题组成，小题之间有两种关系，一是并列关系，整个大题由这小题“拼装”而成.它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，同样(2)的结论与(3)的解题无关；二是“递进”关系，(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一，(3)与(2)也是同样的关
系.在有些较难的综合题里，这两种关系经常是兼
而有之.
2.几何图形综合性问题命题呈现方式：
(1)几何图形多选型综合题；
(2)几何图形性质或判定的综合题；
(3)几何图形与函数联系的综合题.
【解题思路】
(1)几何图形多选型综合题
要充分利用题设和已给结论两方面所提供的
信息作出判断．一般来说，能定性判定的，就不再
使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不
必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用
直接解法；对于明显可以否定的，应及早排除，以
缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选
择最优解法等等．
(2)几何图形性质或判定的综合题
①注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成
几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图
形．②掌握常规的证题方法和思路；③运用转化的
思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何
计算问题．还要灵活运用其他的数学思想方法等．
另外，要注意分析问题的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，是递进的要会运用已获得的结论帮助思考解题. (3)几何图形与函数联系的综合题. ①观察几何图形的特征；②依据相关图形的性
质(如特殊三角形的性质、特殊平行四边形的性质、
平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的
性质、圆的性质等等)找出几何元素之间的联系；
③将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函
数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它
的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取
值范围. 典题研究 【例1】（2015•湖北咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为5-1．其中正确的说法是_______．（把
你认为正确的说法的序号都填上）
【思路点拨】根据正方形对角线的性质可得出 当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，然后求出弧BD的长度，判断出③正确；正方形的对角线减去圆弧的半径就是CG的最小值，通过计算从而判断出④ 错误． 【完全解答】∵在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分， ∴当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误； ∵BF⊥AE， ∴∠AEB+∠CBF=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE和△BCF中，
， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴故②正确； 根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为
半径的圆弧BD的长， ∴圆弧BD的长==π，故③正确； CG的最小值为AC﹣AB=4﹣2，故④错误；
综上所述，正确的结论有②③．
故答案为②③．
【归纳交流】本题是一道多选型综合题．综合考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键．
【例2】（2015•广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．
【思路点拨】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；
（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；
（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC=
=
=，求出BC=6，根据勾股定理得
到AC=AB2BC2=8．再由OD∥BC，得出
△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD=AE2DE2=2．
【完全解答】（1）证明：∵OD∥BC， ∴∠D=∠CBD， ∵OB=OD， ∴∠D=∠OBD， ∴∠CBD=∠OBD， ∴BD平分∠ABC；
（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，
∴∠ACB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°． ∵PF=PB，
∴∠PBF=∠CFB，
由（1）知∠OBD=∠CBF，
∴∠PBF+∠OBD=90°， ∴∠OBP=90°， ∴PB是⊙O的切线； （3）解：连结AD．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10， ∴cos∠ABC=
=
=，
∴BC=6，AC=AB2BC2=8． ∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°， ∴
=
=
，
=
=
，
∴AE=4，OE=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
∴AD=AE2DE2=4222=2．
【归纳交流】这是一道几何图形性质和判定的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．
【例3】（2015•吉林长春）如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连结ED，以PE、ED为邻边作▱PEDF．设▱PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x＜6）．
（1）求线段PE的长．（用含x的代数式表示） （2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值． （3）求y与x之间的函数关系式．
（4）设点A关于直线PE的对称点为点A′，当线段A′B的垂直平分线与直线AD相交时，设其
交点为Q，当点P与点Q位于直线BC同侧（不包括点Q在直线BC上）时，直接写出x的取值范围．
【思路点拨】（1）证明△APE是等边三角形，即可求解；
（2）四边形PEDF为菱形时，AE=DE，然后证明DE=EC即可得到E是AC的中点，则P是AB的中点，据此即可求解；
（3）当x=3，即P是AB的中点时，PE=BC，则F与B重合，当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，当3＜x≤6时，重合部分是梯形PEDB，
则y=（PE+BD）•DM=（x+3）•（3即y=﹣
；
﹣
x），
根据平行四边形和梯形的面积公式即可求解；
（4）首先求得当A'B的中垂线正好经过点D时x的值，据此即可求解．
【完全解答】（1）∵PE∥BC， ∴△APE∽△ABC， 又∵△ABC是等边△， ∴△APE是等边三角形， ∴PE=AP=x（0＜x＜6）；
（2）∵四边形PEDF为菱形， ∴PE=DE=x，
又∵△APE是等边三角形，则AE=PE， ∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°， ∴∠EDC=∠C， ∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=AC=AB=3． 即x=3；
（3）当x=3，即P是AB的中点时，PE=BC，则F与B重合．
则当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，如图1．
等边△ABC中，AD=AB•sin60°=6×=3
，
等边△APE中，AM=AP•sin60°=x，
则DM=3﹣x，
则y=x（3
﹣x），即y=﹣
x2
+3
x；
当3＜x＜6时，重合部分是梯形PEDB，如图2．
（4）情形一：当A′在BC上方时，如图3所示，
当A′B的中垂线正好经过点D时，A′D=BD=3， 则AA′=3﹣3． 则AM=AA′=（3
﹣3），
∴x=AP==3﹣．
则x的取值范围是：0＜x＜3-3．
情形二：当A′在BC上时，PQ∥AD，如图4所示，
AP=A′P=BP=AB=×6=3．
情形三：当A′在BC下方时，如图5所示，
当A′B的中垂线正好经过点D时，A′D=BD=3，
则AA′=3+3．
则AM=AA′=（3
+3），
∴x=AP==3+
．
则x的取值范围是：3＜x＜3+．
综上所示，x的取值范围为0＜x＜3﹣或3＜x＜3+．
【归纳交流】这是一道几何图形与函数联系的综合题. 是等边三角形的性质以及菱形的性质的综合应用，求得F与B重合以及A'B的中垂线正好经过点D时，两种情况下t的值是关键．
名题选练
一、 选择题
1.（2015•四川攀枝花）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=
CG2
；③若
AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．
其中正确的结论个数为(
).
A.4 B.3 C.2 D.1
2.(2015•广东深圳)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：○
1⊿ADG≌⊿FDG；○2GB=2AG； ○3⊿GDE∽BEF；○4S72
⊿BEF
=
5
。在以上4个结论中，正确的有
( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
3.（2015·湖南岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，
以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结
论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③
=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是(
).
A.①② B.①②③ C.①④ D.①②④
4.（2015•山东莱芜）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是( ).
（1）AB+CD=AD；
（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE； （3）AB•CD=
；
（4）∠ABE=∠DCE．
A.1 B.2
C.3 D.4
二、 填空题
5.（2015•山东济南）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=
；④△ABF
的面积为
．其中一定成立的是_______（把所
有正确结论的序号都填在横线上）．
6.（2015•湖北咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是______．（把你认为正确的说法的序号都填上）
7.(2015•湖北孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC
于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=
3
3
；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是3．其中正确结论的序号是________.
8.(2015•四川眉山)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF, 则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________．(请写出正确结论的番号）．
9.（2015•四川内江）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是
EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；
②HOBG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：
MG=1：（1+
），其中正确结论的序号为______．
10.(2015•四川广元)如图，在⊙O中，径，点D是⊙O上一点，点C是AD
AB是直
的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________(只需填写序号)．
三、 解答题
11.(2015·安徽)如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
(1)求证：AD＝BC；
(2)求证：△AGD∽△EGF；
(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 AD
EF
的值．
12. (2015•广东东莞)⊙O是△ABC的外接圆，
AB是直径，过BC
的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.
(1)如图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2)如图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（学生勿进！）
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