2015高考全国卷2理科数学

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2015高考全国卷2理科数学(一)
2015年高考数学全国卷二理科(完美版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科

（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝ 2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a =

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是

（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 = （A）21 （B）42 （C）63 （D）84

1,1log2(2x),x＜

5.设函数f(x)=x1，则f (－2)+ f (log212) =

2,x1 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12

6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为

1111

（A） （B） （C） （D）

8576

7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN

=

（A）26 （B）8 （C）4 （D）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18， 则输出的a= （A）0 （B）2 （C）4 （D）14

9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 积的最大值为36，则球O的表面积为

（A）36π （B）64π （C）144π （D）256π

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x） 的图像大致为

11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则E的离心率为

(A)5 (B)2 (C) (D)2

12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是

(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) (C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二.填空题

13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答案)

xy10,

14.若x，y满足约束条件x2y0,，则z= x＋y的最大值为____________..

x2y20,

15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.

16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1=Sn Sn+1，则Sn=________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。

sinB

(Ⅰ) 求；

sinC

2

(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长.

2

18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

19. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值

20. 已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)错误！未找到引用源。，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有

两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （II）若l过点(

m

，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？ 3

若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.

21. 设函数f(x)=emx＋x2－mx.

(Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

(22).（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边 上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （I）证明：EF平行于BC

（II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

xtcos,

在直角坐标系xOy中，曲线C1:(t为参数，t0)，其中0≤α＜π ，在以O

ytsin,

为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=23cosθ . （I）.求C2与C3交点的直角坐标【2015高考全国卷2理科数学】

（II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值

（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： （I）若ab＞cd ，则acd；

（II）acd是abcd的充要条件.

2015高考全国卷2理科数学(二)
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)

2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word精校版） 注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A 【解析】由已知得Bx2x1，故AB1,0，故选A

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ）

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

【答案】

B

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(

)

（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．

（4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1a3a5 =21，则a3a5a7 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

【答案】

B

1log2(2x),x1,（5）设函数f(x)x1,f(2)f(log212)( )

2,x1,

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

【答案】C

【解析】由已知得f(2)1log243，又log2121，所以f(log212)2

故 log21212log266，

f(2)f(log212)9．

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A）1111 （B） （C） （D） 8765

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图所示，，设正

1131315aa，故剩余几何体体积为a3a3a3，所以截去部32666

1分体积与剩余部分体积的比值为． 5方体棱长为a，则VAA1B1D1

D11

AD1

C

AB

（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=

（A）26 （B）8

（C）46 （D）10

【答案】C

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B

【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a14，b18；b4；a10；a6；a2；b2，此时ab2程序结束，输出a的值为2，故选B．

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π

【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球

111O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为 326

S4R2144，故选C． C

O

AB

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x）

，则f（x）的图像大致为

【答案】

B

的运动过程可以看出，轨迹关于直线x

2对称，且f()f()，且轨迹非线型，故选B． 

42

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2

【答案】

D

2015高考全国卷2理科数学(三)
2015年高考新课标2卷理科数学试题及答案

2015高考全国卷2理科数学(四)
2015年高考全国卷2理科数学

2015年广西高考理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合A2,1,0,1,2，Bxx1x20，则AB

（A）1,0 （B）0,1 （C）1,0,1 （D）0,1,2

（2）若a为实数，且2aia2i4i，则a

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是



（A）逐年比较：2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量显减少趋势

（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

（4）已知等比数列an满足a13，a1a3a521，a3a5a7

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

（5）设函数fx1log22x,x1,则f2flog212 x12,x1,

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

（6）一个正方形被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，

则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A）1111 （B） （C） （D） 8765

（7）过三点A1,3，B4,2，C1,7的圆交y轴于M，N两点，则MN

（A）

26 （B）8 （C）4 （D）10

（8）右边程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a

（A）0 （B）2 （C）4 （D）

14

（第8题图） （第9题图）

（9）已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的支点。若三棱锥

OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

（A）36 （B）64 （C）144 （D）256

（10）如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数fx，则y

fx的图象大致为

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为

（A） （B）2 （C） （D）2

（12）设函数fx是奇函数fxxR的导函数，f10，当x0时，xfxfx0，则使得fx0成立的x的取值范围是

（A）,10,1 （B）1,01,【2015高考全国卷2理科数学】

（C）,11,0 （D）0,11,

二．填空题：本大题共4小题，考生根据要求做答。

（13）设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数 ．

xy10,（14）若x，y满足约束条件x2y0,则zxy的最大值为 ．

x2y20,

（15）ax1x的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a． 4

（16）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍． sinB（Ⅰ）求； sinC

（Ⅱ）若AD1，

DC22，求BD和AC的长．

某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA点E，F分别在A1B1，18，

D1C1上，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C：9xymm0，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个222

交点A，B，线段AB的中点为M．

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点m延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？,m，3

若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

2015高考全国卷2理科数学(五)
2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标2

2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标2

一、选择题

1已知全集U{1,2,3,4},集合A{1,2}，B{2,3}，求CU(AB) A.{1，3，4} B.{3，4} C.{3} D.{4} 2.函数f(x)

1

x2的定义域为

ln(x1)

A.1,00,1 B.1,00,1 C.[-1，1] D.1,1

x

3．命题p：“xR,210” ，命题q：“函数f(x)x

1

是奇函数”．则下列命题x

正确的是

A．命题“pq”是真命题

B．命题“(p)q”是真命题

C．命题“p(q)”是真命题 D．命题“(p)(q)”是真命题 4．函数f(x)Asin(x)（其中A0，0，||则函数解析式为



2

）的图象的一部分如图所示，



A.f(x)sin(2x) B．f(x)sin(2x)

36



C．f(x)sin(4x) D．f(x)sin(4x)

36

x1

5．曲线f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为x1

A．x2y10 B．x2y70 C．2xy40 D．2xy80

2

6．0(4x21)dx

A． B． C．2 D．2 7．下列四个图中，函数y

lnx1x1

的图象大致为

8．若tan



2



1tan

2

3,则sin2=

A．

12 133B．

53C．

5

D．

12 13

9．“a1”是“f(x)sin2xacos2x的一条对称轴是xA．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件



8

”的

D．既不充分也不必要条件

10．在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，已知c2,C则△ABC周长为 A．6 B．5



3

,SABC3，

C．4 D．423

x

x1

11．

若不等式f(4m2实数m 的取值范围是 A．m

)f(4xm2x1)0恒成立，则

11 B．m 22

x

C．m1 D．m1

2【2015高考全国卷2理科数学】

12．设f(x)|xe|，若关于x的方程(1t)f(x)f(x)t0有四个不同的实数解，则

实数t 的取值范围为 A．(,0) B．(0,

1e

) C． (2,1) D． (1,) e1e1

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知

2sin ；

14．已知△ABC

中，sinAcosA

2

，则tanA 15．已知函数f(x)sinx,g(x)xax2，如果对于任意的x1[0,2]，都存在x2R

使得f(x1)g(x2)成立，则a的取值范围是

x2axa16．关于函数f(x)(x0)，下列说法正确的是x

①函数f(x

)有两个极值点x

②函数f(x

)的值域为(,a]a,)； ③当a1时，函数f(x)在[1,)是增函数；

④函数f(x)的图象与x轴有两个公共点的充要条件是a4或a0.

三、解答题：

17．数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1S40，

b9a1．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）若cn

1

，求数列cn的前n项和Wn.

(bn16)bn1818.某厂生产一种内径为105mm的零件，为了检查该生产流水线的质量情况，随机抽取该流水线上50个零件作为样本测出它们的内径长度(单位:mm)，长度的分组区间为[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）[110，115），由此得到样本的频率分布直方图，如下图所示. 已知内径长度在[100，110）之间的零件被认定为一等品,在[95，100）或[110，115）之间的零件被认定为二等品,否则认定为次品.

(Ⅰ)从上述样品中随机抽取1个零件，求恰好是一个次品的概率；

(Ⅱ)以上述样本数据来估计该流水线的总体数据，若从流水线上（产品众多）任意抽取3个零件，设一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望.

长度

19. （本小题满分12分）

如图,四棱锥PABCD中, PD平面ABCD，AB//CD，ADC90

且

CD2,ADABPD1，E在线段PC上移动，且PEPC.

1

时,证明:直线PA//平面EBD 3

(Ⅱ)是否存在,使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角？若存在，求出的值；

(Ⅰ)当

若不存在，说明理由.

P

DA

B

C

x2y2

20．已知椭圆221(ab0)的右顶点和上顶点分别为A,B，|

ab.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点A作斜率为k(k0)的直线l

与椭圆交于另外一点C,求△ABC面积的最大值,并求此时直线l的方程.

21．（本小题满分12分）

已知常数a0，函数f(x)ln(1x)（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）设nN，求证：ln(n1)



a2

xx (x0)． 2

12n1

． ln(n1)k2nk1

n

2015高考全国卷2理科数学(六)
2016年高考全国卷2理科数学试题及答案解析

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