中考数学压轴题汇编

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中考数学压轴题汇编(一)
2015年中考数学压轴题汇编(1)

2015年中考数学压轴题汇编（1）

一．解答题（共30小题） 1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2

3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

2

5．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

6．（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2015•盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F． （1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长； （3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

8．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

9．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．

（1）∠

OBA= °． （2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、

A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

10．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点

P的运动时间为t秒（0＜t＜2）． ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，

+

的值最小，求出这个最小值

2

并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2

11．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积； （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

12．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

2

13．（2015•常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=

（x﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1

2

关于直线x=3对称．

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

14．（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

中考数学压轴题汇编(二)
2015中考数学压轴题汇编(1)

1吉林

24．（8分）（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=弧长l=

三角形

，由

，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S

=×底×高．

类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用． （1）设扇环的面积为S扇环，

的长为l1，

的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆

半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明； （2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

解答： （1）S扇环=（l1﹣l2）h，

证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=r=

，得R=

，

所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r =l1

•===•

2

﹣l2•

2

（l1﹣l2） （l1+l2）（l1﹣l2） •（

R﹣

r）（l1﹣l2）

=（l1﹣l2）（R﹣r） =（l1+l2）h， 故猜想正确．

（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h， 则S扇环=（l1+l2）h =（40﹣2h）h =﹣h+20h

2

=﹣（h﹣10）+100 ∵﹣1＜0，

∴开口向下，有最大值，

当h=10时，最大值是100，

2

即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m．

点评： 本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的应用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．

2

六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个

2

三角板重叠部分的面积为y（cm）．

（1）当点C落在边EF上时，x=_ cm；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

2吉林

解答： 解：（1）15；

（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x

2

②当6≤x＜12时，如图3所示．，BD=x，DG=x，BG=

x，BE=x﹣6，EH=

x+2

2

（x﹣6）． x﹣6

；

重叠面积为y=S△BDG﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH，化简，得y=﹣③当12＜x≤15时，如图4所示．，AC=6，BC=6

，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），

重叠面积为y=S△ABC﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG，即y=×6×6化简，得y=18

﹣

（x﹣12x+36）=﹣

2

﹣（x﹣6）（x﹣6），

x+2

2

x+12；

(3)点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线， NG=

EF=MN最小=3

﹣

．MB=CB=3

=

，∠B=30°，MG=MB=

，

3吉林

26．（10分）（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）． （1）当m=﹣1，n=4时，k= ，b= ； 当m=﹣2，n=3时，k= ，b= ；

（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论； （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：

2

如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．

①当m=﹣3，n＞3时，求

的值（用含n的代数式表示）；

②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为

当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．

3吉林

解答： 解：（1）当x=﹣1时，y=x=1，则A（﹣1，1）；当x=4时，y=x=16，则B（4，16）， 把A（﹣1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得

2

2

2

2

，解得；

当x=﹣2时，y=x=4，则A（﹣2，4）；当x=3时，y=x=9，则B（3，9）， 把A（﹣2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得

，解得

；

中考数学压轴题汇编(三)
2015中考数学压轴题汇编及答案

2015年中考数学压轴题汇编（1）

一．解答题（共30小题） 1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2【中考数学压轴题汇编】

3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

2

5．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

6．（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2015•盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F． （1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长； （3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

8．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

9．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．

（1）∠

OBA= °． （2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、

A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

10．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点

P的运动时间为t秒（0＜t＜2）． ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，

+

的值最小，求出这个最小值

2

并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2

11．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积； （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

12．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

2

13．（2015•常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=

（x﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1

2

关于直线x=3对称．

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【中考数学压轴题汇编】

2

14．（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

中考数学压轴题汇编(四)
2013全国各地中考数学压轴题汇编

23、（10分）（2013安徽）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。

(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。

(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN的面积等于不存在，请说明理由。

32

的k值？若存在，请求出符合的k值；若25

25．(2013 北京) 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在

两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。 已知点D（

11，），E（0，-2），F（2，0） 22

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，

n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

27.（本小题满分10分）（2013 成都）

如图，eO的半径r25，四边形ABCD内接圆eO，ACBD于点H，P为CA延长线上的一点，且PDAABD.

（1）试判断PD与eO的位置关系，并说明理由：

（2）若tanADB

33

，PAAH，求BD43

的长；

（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.

25．（2013 佛山）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，

黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．

已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．

(1) 把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；

要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个． (2) 图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．

要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．

25.（2013 广东）有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,

∠FDE=90°,DF=4,DE=4.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA

方向

第25题图【中考数学压轴题汇编】

平行移动,当点F运动到点A时停止运动.

(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M, 则∠EMC=______度；

(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;

(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.

25、（本小题满分14分）（2013 广州）

已知抛物线y1=ax2bxc(a0,ac)过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。

（1）使用a、c表示b;

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(值范围。

23.（本小题满分12分）（2013 杭州）

如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1。 （1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y

c

,b8),求当x≥1时y1的取a

S1

。 S2

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。

24．（12分）（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（14分）（2013•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

2

2

26.（13分）（2013晋江）如图10，在平面直角坐标系xoy中，一动直线l从y轴出发，以

每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线yx相交于点P,以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.设直线l的运动时间为t秒．

（1）填空：当t1时，⊙P的半径为 ，OA ，OB ； （2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边

形.

①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）

②当点C在直线yx上方时,过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个交点为 ．．

(图10)

(备用图)

点D，连接DC、DA，试判断DAC的形状，并说明理由.

24.（本题12分）（2013丽水）

如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t （1）当t2时，求CF的长；

（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上？ ②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿x轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件

中考数学压轴题汇编(五)
2016年中考数学压轴题及解析分类汇编

2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)

例1

直线y

1

x1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后3

得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到，

△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

9a3bc0,a1, 解得c3,b2, abc0.c3.

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，

那么BQ． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：

BQ

33．解得x3．所以Q1(3,10)，Q2(3,8)． BA①当

②当

BQ11111．解得



x．所以Q3(,2)，Q4(,0)．

BA33333

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；

二是BQ．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH

中，sin1

cos1

①当BQ

3时，BQ

BA

在Rt△BQN中，QNBQsin13，BNBQcos19．

当Q在B上方时，Q1(3,10)；当Q在B下方时，Q2(3,8)． ②当

BQ111



时，BQQ3(,2)，Q4(,0)． BA333

例2

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y

k

(k0)在第一象限x

内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当tan∠A＝

1

时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2

（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．

3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y

k

的图像上，所以x

4mk,

整理，得n＝2m． 

2nk.

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝

1

，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)． 2

已知△BDE的面积为2，所以

11

BDEH(m1)22．解得m＝1．因此D(4，22

1)，E(2，2)，B(4，3)．

因为点D（4，1）在反比例函数y析式为y

k

的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解x

4． x

4k,b31

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得k，

22k.b2

b1．

因此直线AB的函数解析式为y

1

x1．

2

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线y

1

x1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，2

1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当

EAEF

时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． AOFP2FP

②如图4，当

EAFP

时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． AOEF2考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为y直线AB为y

12

，x

1

x7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 2

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