2016高二宁波市九校联考历史

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  2016高二宁波市九校联考历史(1)

  一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

  1.已知U=R,集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},则A∩(∁UB)=(  )

  A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0<x≤2或x≥4} D.{x|0≤x<2或x>4}

  2.已知a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则下列关系中正确的是(  )

  A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b

  3.函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是(  )

  A. B. C. D.

  4.若(1﹣2x)5=a0+a1x+…+a5x5(x∈R),则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=(  )

  A.243 B.﹣243 C.81 D.﹣81

  5.已知离散型随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ+1)=5.8,D(ξ)=1.44,那么n,p的值分别为(  )

  A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1

  6.设函数f(x)= ,记f1(x)=f(f(x)),f2(x)=f(f1(x)),…,fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,那么下列说法正确的是(  )

  A.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=0

  B.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=0

  C.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=1

  D.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=1

  7.把7个字符1,1,1,A,A,α,β排成一排,要求三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有(  )

  A.12种 B.30种 C.96种 D.144种

  8.已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)= 给出下列结论:

  ①函数f(x)的值域为(0,8];

  ②对任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;

  ③存在k∈( , ),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有5个公共点;

  ④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)⊆(2n,2n+1)”

  其中正确命题的序号是(  )

  A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④

  二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分

  9.计算:

  (1)( ) ﹣160.25=      ;

  (2)log93+lg3•log310=      .

  10.若二项式( ﹣ )n的展开式共有7项,则n=      ;展开式中的第三项的系数为      .(用数字作答)

  11.已知定义在R上的奇函数f(x)= ,则f(1)=      ;不等式f(f(x))≤7的解集为      .

  12.我省新高考采用“7选3”的选考模式,即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目,那么所有可能的选考类型共有      种;甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课,甲必选物理和政治,乙不选技术,则两人至少有一门科目相同的选法共有      种(用数学作答)

  13.掷两颗质地均匀的骰子,在已知它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率是      .

  14.已知a为实数,若函数f(x)=|x2+ax+2|﹣x2在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为      .

  15.设函数f(x)=ex(x3﹣3x+2﹣c)+x(x≥﹣2),若不等式f(x)≥0恒成立,则实数c的最大值是      .

  三、解答题(本大题共5小题,共74分)

  16.已知对任意的n∈N*,存在a,b∈R,使得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b)

  (Ⅰ)求a,b的值;

  (Ⅱ)用数学归纳法证明上述恒等式.

  17.一个口袋装有大小相同的小球9个,其中红球2个、黑球3个、白球4个,现从中抽取2次,每次抽取一个球.

  (Ⅰ)若有放回地抽取2次,求两次所取的球的颜色不同的概率;

  (Ⅱ)若不放回地抽取2次,取得红球记2分,取得黑球记1分,取得白球记0分,记两次取球的得分之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

  18.已知函数f(x)=x2﹣2x﹣t(t为常数)有两个零点,g(x)= .

  (Ⅰ)求g(x)的值域(用t表示);

  (Ⅱ)当t变化时,平行于x轴的一条直线与y=|f(x)|的图象恰有三个交点,该直线与y=g(x)的图象的交点横坐标的取值集合为M,求M.

  19.定义:若两个二次曲线的离心率相等,则称这两个二次曲线相似.如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,右顶点为A,以其短轴的两个端点B1,B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形,M是C上异于B1,B2的一个动点,△MB1B2的重心为G,G点的轨迹记为C1.

  (Ⅰ)(i)求C的方程;

  (ii)求证:C1与C相似;

  (Ⅱ)过B1点任作一直线,自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P,Q,R,S,求 的取值范围.

  20.已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+(1﹣a)x,其中a∈R,f(x)的导函数是f′(x).

  (Ⅰ)求函数f(x)的极值;

  (Ⅱ)在曲线y=f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),使得直线AB的斜率k=f′( )?若存在,求出x1与x2的关系;若不存在,请说明理由.

  2015-2016学年浙江省宁波市九校联考高二(下)期末数学试卷

  参考答案与试题解析

  一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

  1.已知U=R,集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},则A∩(∁UB)=(  )

  A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0<x≤2或x≥4} D.{x|0≤x<2或x>4}

  【考点】交、并、补集的混合运算.

  【分析】先求出补集∁UB,再根据并集的定义求出A∪(∁UB).

  【解答】解:∵B={x|2≤x≤4},

  ∴∁UB={x|x<1或x>4},

  ∵A={x|x≥0},

  ∴A∪(∁UB)={x|0≤x<1或x>4},

  故选:D.

  2.已知a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则下列关系中正确的是(  )

  A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b

  【考点】对数值大小的比较.

  【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出.

  【解答】解:∵ ,

  ∴b=( ) >c=( ) ,

  ∵ ,

  ∴a=( ) >b=( ) ,

  ∴a>b>c.

  故选:A.

  3.函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】函数的图象.

  【分析】直接根据幂函数和对数函数的单调性即可判断.

  【解答】解:函数y=x3为单调递增函数,且过定点(1,1),y=log2x为单调递增函数,且过定点(1,0),

  故选:A.

  4.若(1﹣2x)5=a0+a1x+…+a5x5(x∈R),则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=(  )

  A.243 B.﹣243 C.81 D.﹣81

  【考点】二项式系数的性质.

  【分析】可令x=1,求得a0+a1+…+a5=﹣1,再令x=﹣1求得a0﹣a1+…﹣a5=243,而(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=(a0+a2+a4+a1+a3+a5)(a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5),问题得以解决.

  【解答】解:∵(1﹣2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,

  ∴令x=1,有a0+a1+…+a5=﹣1

  再令x=﹣1,有a0﹣a1+…﹣a5=35…=243,

  ∴(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=(a0+a2+a4+a1+a3+a5)(a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5)=﹣243.

  故选:B.

  5.已知离散型随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ+1)=5.8,D(ξ)=1.44,那么n,p的值分别为(  )

  A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1

  【考点】离散型随机变量的期望与方差.

  【分析】由已知求出E(ξ)=2.4,D(ξ)=1.44,利用二项分布的性质列出方程组,能求出n,p的值.

  【解答】解:∵离散型随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ+1)=5.8,D(ξ)=1.44,

  ∴2E(ξ)+1=5.8,∴E(ξ)=2.4,

  ∴ ,

  解得n=6,p=0.4.

  故选:B.

  6.设函数f(x)= ,记f1(x)=f(f(x)),f2(x)=f(f1(x)),…,fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,那么下列说法正确的是(  )

  A.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=0

  B.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=0

  C.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=1

  D.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=1

  【考点】函数的值.

  【分析】根据函数f(x),求出f1(x)、f2(x),…,fn+1(x)的解析式,即可得出结论.

  【解答】解:∵函数f(x)= ,

  ∴f1(x)=f(f(x))=x,

  f2(x)=f(f1(x))= ,

  …,

  fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*;

  又f(x)= =﹣1+ ,

  所以f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,且f2016(0)= =1.

  故选:D.

  7.把7个字符1,1,1,A,A,α,β排成一排,要求三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有(  )

  A.12种 B.30种 C.96种 D.144种

  【考点】排列、组合及简单计数问题.

  【分析】先求出两个“A“没有限制的排列,再排除若A,A相邻时的排列,问题得以解决.

  【解答】解:先排列A,A,α,β,若A,B不相邻,有A22C32=6种,若A,B相邻,有A33=6种,共有6+6=12种,

  从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有12C53=120,

  若A,A相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有6C43=24,

  故三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有120﹣24=96种,

  故选:C.

  8.已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)= 给出下列结论:

  ①函数f(x)的值域为(0,8];

  ②对任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;

  ③存在k∈( , ),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有5个公共点;

  ④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)⊆(2n,2n+1)”

  其中正确命题的序号是(  )

  A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④

  【考点】命题的真假判断与应用.

  【分析】①根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断,

  ②利用f(2n)= f(1)进行求解判断,

  ③作出函数f(x)和y=kx的图象,利用数形结合进行判断,

  ④根据分段函数的单调性进行判断.

  【解答】解:①当1≤x<2时,f(x)=﹣8x(x﹣2)=﹣8(x﹣1)2+8∈(0,8],

  ②∵f(1)=8,

  ∴f(2n)= f(2n﹣1)= f(2n﹣2)= f(2n﹣3)=…= f(20)= f(1)= ×8=23﹣n,故②正确,

  ③当x≥2时,f(x)= f( )∈0,4],故函数f(x)的值域为(0,8];故①正确,

  当2≤x<4时,1≤ <2,则f(x)= f( )= [﹣8( ﹣1)2+8]=﹣4( ﹣1)2+4,

  当4≤x<8时,2≤ <4,则f(x)= f( )= [﹣4( ﹣1)2+4]=﹣2( ﹣1)2+2,

  作出函数f(x)的图象如图:

  作出y= x和y= x的图象如图,

  当k∈( , ),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有3个公共点;故③错误,

  ④由分段函数的表达式得当x∈(2n,2n+1)时,函数f(x)在(2n,2n+1)上为单调递减函数,

  则函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)⊆(2n,2n+1)”为真命题.,故④正确,

  故选:C

  2016高二宁波市九校联考历史(2)

  9.计算:

  (1)( ) ﹣160.25=   ;

  (2)log93+lg3•log310= 3 .

  【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.

  【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可.

  【解答】解:(1)( ) ﹣160.25= ﹣24×0.25= ﹣1= ;

  (2)log93+lg3•log310= +lg3 =2+1=3

  10.若二项式( ﹣ )n的展开式共有7项,则n= 6 ;展开式中的第三项的系数为 60 .(用数字作答)

  【考点】二项式系数的性质.

  【分析】根据展开式中的项数共有7项可求出n的值是6,利用二项展开式的通项公式求出通项,令r的指数为2,将r的值代入通项求出展开式中的第三项的系数.

  【解答】解:∵二项式( ﹣ )n的展开式共有7项,

  ∴n=6

  展开式的通项为Tr+1=(﹣2)rC6r ,

  展开式中的第三项即r=2时,

  所以展开式中的第三项的系数为4C62=60

  故答案为:6,60

  11.已知定义在R上的奇函数f(x)= ,则f(1)= ﹣1 ;不等式f(f(x))≤7的解集为 (﹣∞,2] .

  【考点】函数奇偶性的性质.

  【分析】由奇函数关于原点对称的性质,即可求得f(1);不等式f(f(x))≤7的解集等价于f(x)≥﹣3的解集,即可求得答案.

  【解答】解:∵R上的奇函数f(x)= ,

  ∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣[( )﹣1﹣1]=﹣1,

  ∵不等式f(f(x))≤7,f(﹣3)=7,

  ∴f(x)≥﹣3,

  ∵R上的奇函数f(x)= ,

  ∴g(x)=1﹣2x,

  ∴f(x)≥﹣3等价于 或 ,

  可以解得x≤2,

  即不等式f(f(x))≤7的解集为(﹣∞,2].

  故答案为:﹣1;(﹣∞,2].

  12.我省新高考采用“7选3”的选考模式,即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目,那么所有可能的选考类型共有 35 种;甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课,甲必选物理和政治,乙不选技术,则两人至少有一门科目相同的选法共有 92 种(用数学作答)

  【考点】排列、组合及简单计数问题.

  【分析】①直接根据组合定义即可求出,

  ②利用间接法,先求出甲必选物理和政治,乙不选技术的种数,再排除两人没有科目相同的选法,问题得以解决.

  【解答】解:①从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目,那么所有可能的选考类型共有C73=35种,

  ②甲必选物理和政治,乙不选技术,则甲乙的选法为C51C63=100种,

  其中没有相同的科目,若甲选技术,则乙有C43=4种,若甲不选技术,甲有4种,乙只有1种,故有4×1=4种,

  则其中没有相同的科目的为4+4=8种,

  故两人至少有一门科目相同的选法共有100﹣8=92,

  故答案为:35,92

  13.掷两颗质地均匀的骰子,在已知它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率是   .

  【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

  【分析】掷两颗质地均匀的骰子,它们的点数不同,列举出所有的基本事件和其中有一颗是6点包含的基本事件个数,由此能求出它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率.

  【解答】解:掷两颗质地均匀的骰子,它们的点数不同,

  所有的基本事件为:

  (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

  (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),

  (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),

  (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

  (5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),

  共有30个,

  其中有一颗是6点包含的基本事件个数有10个,

  ∴它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率p= = .

  故答案为: .

  14.已知a为实数,若函数f(x)=|x2+ax+2|﹣x2在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 [﹣8,0) .

  【考点】分段函数的应用;函数的单调性及单调区间.

  【分析】将函数表示为分段函数形式,结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可.

  【解答】解:f(x)=|x2+ax+2|﹣x2= ,

  设x2+ax+2=0的两个根分别为x1,x2,(x1<x2),

  则f(x)= ,

  ∵当x≥x2时,函数f(x)=ax+2,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,

  ∴a<0,

  当x1<x<x2时,抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ .

  若函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,则﹣ ≤2,得﹣8≤a<0.

  若f(x)在区间(﹣∞,﹣1)递减,

  则x1= ≥﹣1,

  即﹣a﹣ ≥﹣2,

  则 ≥a﹣2,

  ∵﹣8≤a<0,

  ∴ ≥a﹣2恒成立,

  综上﹣8≤a<0,

  故答案为:[﹣8,0)

  15.设函数f(x)=ex(x3﹣3x+2﹣c)+x(x≥﹣2),若不等式f(x)≥0恒成立,则实数c的最大值是 ﹣2e2 .

  【考点】函数恒成立问题.

  【分析】问题转化为c≤x3﹣3x+2+ ,(x≥﹣2),令h(x)=x3﹣3x+2+ ,(x≥﹣2),求出h(x)的最小值,从而求出c的最大值即可.

  【解答】解:∵函数f(x)=ex(x3﹣3x+2﹣c)+x(x≥﹣2),若不等式f(x)≥0恒成立,

  则c≤x3﹣3x+2+ ,(x≥﹣2),

  令h(x)=x3﹣3x+2+ ,(x≥﹣2),

  h′(x)=(x﹣1)[3(x+1)﹣e﹣x],

  令h′(x)>0,解得:x>1或x<x0,(﹣1<x0<0),

  令h′(x)<0,解得:x0<x<1,

  ∴h(x)在[﹣2,x0)递增,在(x0,1)递减,在(1,+∞)递增,

  ∴h(x)的最小值是h(﹣2)或h(1),

  而h(﹣2)=﹣2e2<h(1)= ,

  ∴c≤﹣2e2,c的最大值是﹣2e2;

  故答案为:﹣2e2.

  三、解答题(本大题共5小题,共74分)

  16.已知对任意的n∈N*,存在a,b∈R,使得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b)

  (Ⅰ)求a,b的值;

  (Ⅱ)用数学归纳法证明上述恒等式.

  【考点】数学归纳法.

  【分析】(Ⅰ)分别取n=1,2,得到关于a,b的方程组解得即可,

  (Ⅱ)先根据当n=1时,把n=1代入求值等式成立;再假设n=k时关系成立,利用变形可得n=k+1时关系也成立,综合得到对于任意n∈N*时都成立

  【解答】解:(Ⅰ)由题意1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b),

  上述等式分别取n=1,2得 ,解得 ,

  (Ⅱ)由(Ⅰ)得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (n2﹣1),

  证明:①当n=1时,左边=1×(12﹣12)=0,右边= ×12(12﹣1)=0,等式成立,

  ②假设当n=k时,等式成立,即1×(k2﹣12)+2×(k2﹣22)+3×(k2﹣32)+…+k(k2﹣k2)= k2(k2﹣1),

  则当n=k+1时,左边=1×[(k2﹣12)+(2k+1)]+2×[(k2﹣22)+(2k+1)]+…+k[(k2﹣k2)+(2k+1)],

  =1×(k2﹣12)+2×(k2﹣22)+3×(k2﹣32)+…+k(k2﹣k2)+(2k+1)(1+2+3+…+k),

  = k2(k2﹣1)+(2k+1) k(k+1),

  = k(k+1)(k2+3k+2),

  = (k+1)2k(k+2),

  = (k+1)2[(k+1)2﹣1],

  所以当n=k+1时等式成立,

  综上所述,对任意n∈N*,原等式成立.

  17.一个口袋装有大小相同的小球9个,其中红球2个、黑球3个、白球4个,现从中抽取2次,每次抽取一个球.

  (Ⅰ)若有放回地抽取2次,求两次所取的球的颜色不同的概率;

  (Ⅱ)若不放回地抽取2次,取得红球记2分,取得黑球记1分,取得白球记0分,记两次取球的得分之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

  【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.

  【分析】(Ⅰ)设事件A为“两次所取的球颜色不同”,利用对立事件概率计算公式能求出两次所取的球的颜色不同的概率.

  (Ⅱ)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.

  【解答】解:(Ⅰ)设事件A为“两次所取的球颜色不同”,

  则P(A)=1﹣[( )2+( )2+( )2]= .

  (Ⅱ)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,4,

  P(X=0)= = ,

  P(X=1)= = ,

  P(X=2)= = ,

  P(X=3)= = ,

  P(X=4)= = ,

  ∴X的分布列为:

  X 0 1 2 3 4

  P

  EX= = .

  18.已知函数f(x)=x2﹣2x﹣t(t为常数)有两个零点,g(x)= .

  (Ⅰ)求g(x)的值域(用t表示);

  (Ⅱ)当t变化时,平行于x轴的一条直线与y=|f(x)|的图象恰有三个交点,该直线与y=g(x)的图象的交点横坐标的取值集合为M,求M.

  【考点】二次函数的性质;函数的值域.

  【分析】(Ⅰ)求出t的范围,根据基本不等式的性质求出g(x)的值域即可;

  (Ⅱ)求出t= ,得到 >﹣1,解不等式即可.

  【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=x2﹣2x﹣t(t为常数)有两个零点,

  ∴△=4(1+t)>0,解得:t>﹣1,

  g(x)= =(x﹣1)+ +2,

  ∵|(x﹣1)+ |=|x﹣1|+ ≥2 ,当且仅当x=1± 时取“=”,

  ∴(x﹣1)+ ≤﹣2 或(x﹣1)+ ≥2 ,

  ∴g(x)≤2﹣2 或g(x)≥2+2 ,

  即g(x)的值域是(﹣∞,2﹣2 ]∪[2﹣2 ,+∞);

  (Ⅱ)当x=1时,f(x)取最小值﹣t﹣1,

  由|f(x)|的图象得,平行x轴的直线y=x+1与函数y=|f(x)|的图象恰有三个交点,

  由 =t+1得,(x﹣2)t=x2﹣x+1,显然x≠2,

  ∴t= ,

  由于t>﹣1,

  ∴ >﹣1,即 >0,

  解得:﹣1<x<1或x>2,

  ∴M=(﹣1,1)∪(2,+∞).

  19.定义:若两个二次曲线的离心率相等,则称这两个二次曲线相似.如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,右顶点为A,以其短轴的两个端点B1,B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形,M是C上异于B1,B2的一个动点,△MB1B2的重心为G,G点的轨迹记为C1.

  (Ⅰ)(i)求C的方程;

  (ii)求证:C1与C相似;

  (Ⅱ)过B1点任作一直线,自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P,Q,R,S,求 的取值范围.

  【考点】椭圆的简单性质.

  【分析】(Ⅰ)(i)设C的方程: + =1(a>b>0),则 ,求出a,b,即可求C的方程;

  (ii)求出轨迹C1,可得离心率相等,即可证明C1与C相似;

  (Ⅱ)设直线方程为y=kx﹣3(k>0),代入椭圆方程,求出相应线段的长,可得 = 构造函数,利用导数确定函数的单调性,即可确定 的取值范围.

  【解答】(Ⅰ)(i)解:设C的方程: + =1(a>b>0),则 ,

  ∴a=6,b=3,

  ∴C的方程: =1;

  (ii)证明:设G(x,y),M(x0,y)(x0≠0),则x0=3x,y0=3y

  把点M(3x,3y)的坐标代入C的方程,得轨迹C1的方程为 =1(x≠0),

  ∴轨迹C1也为椭圆(除去(0,﹣1),(0,1)两点),求得a1=2,c1= ,e1= ,

  ∵C的离心率e= ,

  ∴e1=e,

  ∴C1与C相似;

  (Ⅱ)解:设直线方程为y=kx﹣3(k>0),代入C的方程得(1+4k2)x2﹣24kx=0,∴xS= ,yS= ,

  ∴ = ,

  代入C1的方程得(1+4k2)x2﹣24kx+32=0,由k>0,△>0得k> ,

  由韦达定理得xP+xR= ,xPxR= ,

  ∴|PR|2=(1+k2)[ ﹣ ].

  ∵|AQ|=6﹣ = ,

  ∴ =

  令f(k)= (k )

  则f′(k)= • <0

  ∴f(k)在( ,+∞)上是减函数,

  ∴ )=

  ∴0< < .

  20.已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+(1﹣a)x,其中a∈R,f(x)的导函数是f′(x).

  (Ⅰ)求函数f(x)的极值;

  (Ⅱ)在曲线y=f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),使得直线AB的斜率k=f′( )?若存在,求出x1与x2的关系;若不存在,请说明理由.

  【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

  【分析】(Ⅰ)求导数 ,讨论a的符号,这样便可判断导数的符号,从而可判断每种情况是否存在极值,若存在便可求出该极值;

  (Ⅱ)先根据条件求出斜率 ,而可得到 ,这样便可根据条件得出 ,然后换元 ,并设x1>x2,t>1,从而得出 ;求导数并可判断导数符号g′(t)>0,从而g(t)>g(1),而g(1)=0,这即说明g(t)=0无解,从而得出满足条件的两点A,B不存在.

  【解答】解:(Ⅰ)由已知得,f′(x)=

  (1)当a≤0时,∵x>0,∴f′(x)>0;

  ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,此时函数f(x)无极值;

  (2)当a>0时, ;

  ∴当x 时,g′(x)>0;当x 时,g′(x)<0;

  ∴函数f(x)在 上是增函数,在 上是减函数;

  ∴当 时,f(x)有极大值 ,无极小值;

  综上所述,当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,f(x)有极大值 ,无极小值.

  (Ⅱ)由题意得,

  =

  = = .

  .

  由 得, ;

  即 ,即 ;

  令 ,不妨设x1>x2,则t>1,记 ;

  ,所以g(t)在(1,+∞)上是增函数;

  所以g(t)>g(1)=0,所以方程g(t)=0无解,则满足条件的两点A,B不存在.

  2016高二宁波市九校联考历史(3)

  一、选择题(每题2分,共50分)

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B B A D D D B D C A C D A 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C D C C C D D C B C D D 李鸿章分李鸿章李鸿章分分分1938年分分1942年任意点给分点点.(分)(1)主要特点:代议制民主;中央拥有较大权力;君主专制色彩浓厚;保留了普鲁士军国主义传统。任意点给分

  (2)(分)(任意两点给分)

  (3)主要表现:完成了国家的统一;资本主义经济高度发达;是欧盟的最重要成员国之一;和周边国家保持了良好的关系;拥有成熟的资本主义民主制度。(任意点给分)贡献:深刻反思二战,促进了欧洲的和平与稳定;推动了欧洲的联合;有助于欧洲政治经济的发展;有利于欧洲对国际事务发挥重要影响。(任意点给4分)

本文来源:http://www.guakaob.com/gaozhong/561831.html

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