新课标解二元一次方程组体现了什么理念

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新课标解二元一次方程组体现了什么理念(一)
新课标教案2_解二元一次方程组

7.2.2 解二元一次方程组(二)

一．教学目标

(一)教学知识点

1.用加减消元法解二元一次方程组.

2.进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”化归思路.

(二)能力训练要求

1.会用加减消元法解二元一次方程组.

2.根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元.

(三)情感与价值观要求

1.进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐.

2.根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识.

二．教学重点

1.掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤.

2.能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组.

三．教学难点

1.解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想.

2.数学研究的“化未知为已知”的化归思想.

四．教学方法

启发——比较——自主探索相结合.

由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答.通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握.

五．教具准备

投影片一张：问题串(记作 7.2.2 A).

六．教学过程

Ⅰ.提出疑问，创设问题情景，引入新课

［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？

3x5y21 2x5y11①

②

［生1］解：把②变形，得x=

把③代入①，得

3×5y11+5y=21, 2

解得y=－3.

把y=3代入②，得

x=2.

所以方程组的解为x2, y3 5y11 ③ 2

［生2］解：由②得5y=2x+11 ③

把5y当做整体将③代入①，得

3x+(2x+11)=21

解得x=2

把x=2代入③，得

5y=2×2+11

y=3

所以原方程的解为x2 y3

［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单.有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”.那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”.

［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y.

［师］很好.这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组.

解：①3x5y21 2x5y11②

由①+②，得

(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11),

即3x+2x=10,

x=2,

把x=2代入②中，得

y=3.

所以原方程组的解为x2, y3

［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果.回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见.

［生］我们组认为课本P192的随堂练习的(3)(4)小题用加减消元法简单. ［师］你们组能派两位同学有加减消元法把这两个方程组解一下吗？ ［生］可以.

(学生黑板板演，接着听其他组讨论的结果)

［生］我们组认为习题7.2.1(2)也可以用加减消元法，我可以到黑板上做. ［生］老师，习题7.2.1(4)把方程组变形后，得2m5n20也可以用加减消2m3n4

元法.我在黑板上做.【新课标解二元一次方程组体现了什么理念】

［师］下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程.(1)xy11, xy7;

(2)3x2y9,这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用x2y3.

了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好.(3)xy5 我们观察此方程y的系数都是1，因此这2xy8

①mn2位同学想到了用②－①,得x=3，代入①就解出y=2.(4)52 这位②2m3n4

同学将方程组整理，得

③

②2m5n20 由②－③得8n=－16，n=－2，把2m3n4

n=－2代入②便得m=5.这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组.

［生］老师，我有一个问题：习题7.2的(3)小题，用代入消元法解，较麻烦.用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法.是不是还有别的方法.

［师］这个同学提的问题太好了.能发现问题是我们学习很重要的一个方面，

y43x2①同学们应该向他学习.接下来，同学们分组讨论，方程组 不4x3y11②

用代入消元法如何解？

［生］老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或相反)呢？

［生］可以.我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.

［生］我不同意.这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦.我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③,在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④,然后③+④，就可以将y消去，得17x= －34,x=－2.把x=－2代入①得，y=－1.所以方程组的解为x2, y1.

［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他.其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是象习题7.2.1.(3)题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.下面我们看一个例子.

解方程组2x

3y12① 3x4y17②

分析：未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反.我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同.

解：①×3得6x+9y=36 ③

②×2,得6x+8y=34 ④

③－④，得y=2.

将y=2代入①，得x=3.

所以原方程组的解是x3, y2.

［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题： ［师生共析］(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤.

第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数.

第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元.

第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.

Ⅲ.随堂练习

课本P195.用加减消元法解下列方程组：

7x2y31.解：(1) 9x2y19①

②

①+②，得16x=－16

x=－1

把x=－1代入①，得

y=－5

x1所以原方程的解为 y5

(2)6x5y3 6xy15①

②

②－①，得6y=－18

y=－3 把y=－3代入①，得

x=－2

所以原方程组的解为

4s3t5(3) 2st5①②

①－②×2得5t=15

t=3

把t=3代入②，得

s=－1

所以原方程组的解为

5x6y9 7x4y5①

x2 y3 s1 t3(4)

②

①×2－②×3,得－11x=33

x=－3

把x=－3代入①得y=－4

所以原方程组的解为x3 y4

注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一.

Ⅳ.课时小结

关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了.比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.

Ⅴ.课后作业

1.课本P197、习题7.3

2.阅读P195读一读·你知道计算机是如何解方程组吗.

Ⅵ.活动与探究

解三元一次方程组：

xyz26 xy1

2xyz18①②③

新课标解二元一次方程组体现了什么理念(二)
新课标教案1_解二元一次方程组

7.2.1解二元一次方程组（一）

一．教学目标

(一)教学知识点

1.代入消元法解二元一次方程组.

2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.

(二)能力训练要求

1.会用代入消元法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

(三)情感与价值观要求

1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.

2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.

二．教学重点

1.会用代入消元法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

三．教学难点

1.“消元”的思想.

2.“化未知为已知”的化归思想.

四．教学方法

启发——自主探索相结合.

教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

五．教具准备【新课标解二元一次方程组体现了什么理念】

投影片两张：

第一张：例题(记作 7.2.1 A)；

第二张：问题串(记作 7.2.1 B).

六．教学过程

Ⅰ.提出疑问，引入新课

［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组

去了多少人呢？

［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验x5是不是方程x+y=8y3xy8,成人和儿童到底5x3y34.

和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出x5xy8是方程组的解.所以成人和儿童分别y35x3y34

去了5个人和3个人.

［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？

［生］太麻烦啦.

［生］不可能.

［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.

Ⅱ.讲授新课

［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？

［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：

5x+3(8－x)=34

解得x=5

将x=5代入8－x=8－5=3

答：成人去了5个，儿童去了3个.

［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.

［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.

［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？

［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将xy8① 中的①变形，得y=8－x ③我们把y=8－x代入方程345x3y②

②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.

［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.

xy8解： 5x3y34①

②

由①得 y=8－x ③

将③代入②得

5x+3(8－x)=34

解得x=5

把x=5代入③得y=3.

所以原方程组的解为x5 y3.

下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.

［师生共析］解二元一次方程组：

xy2 x12(y1)①②

分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.

解：由①得x=2+y

③

将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)

解得y=5

把y=5代入③，得

x=7.

所以原方程组的解为x7即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹. y5

［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.

解：(1)将②代入①，得

3×y3+2y=8 2

3y+9+4y=16

7y=7

y=1

将y=1代入②，得

x=2

所以原方程组的解是x2 y1

(2)由②，得x=13－4y ③

将③代入①，得

2(13－4y)+3y=16

－5y=－10

y=2

将y=2代入③，得

x=5

所以原方程组的解是x5 y2.

［师］下面我们来讨论几个问题：【新课标解二元一次方程组体现了什么理念】

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)

［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.

［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数.

第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.

第五步：用“{”把原方程组的解表示出来.

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立.

［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡.在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯.

［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题.我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便.可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？

［师］这个问题提的太好了.下面同学们分组讨论一下.如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来.

［生］解：由②得2x=y+3 ③

③两边同时乘以2，得

4x=2y+6 ④

由④得2y=4x－6

把⑤代入①得

3x+(4x－6)=8

解得7x=14,x=2

把x=2代入③得y=1.

所以原方程组的解为x2, y1.

［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”.

Ⅲ.随堂练习

课本P192

1.用代入消元法解下列方程组

解：(1) y2x①



xy12 ②

将①代入②，得

x+2x=12

x=4.

把x=4代入①，得

y=8

所以原方程组的解为x4

y8

(2)y2x5①



4x3y65

②

将①代入②，得

4x+3(2x+5)=65

解得x=5

把x=5代入①得

y=15

所以原方程组的解为x5

y15

(3)xy11①

xy

7②

由①，得x=11－y ③

把③代入②，得

11－y－y=7

y=2

把y=2代入③，得

x=9

新课标解二元一次方程组体现了什么理念(三)
【2014】《二元一次方程组》【新课标人教版】

多媒体环境下的教学设计

1

2

3

4

5

新课标解二元一次方程组体现了什么理念(四)
二元一次方程组和它的解教学设计

新课标解二元一次方程组体现了什么理念(五)
课题8.2 解二元一次方程组(2)

课题： 8.2 消元（2）

教学目标

1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；

2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；

3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

教学难点

进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。

知识重点

学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组。

教学过程（师生活动）

设计理念

创设活动

1、 请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握了．

2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤．

本课是对代入消元法的巩固和深化，设置活动目的在于帮助学生迅速再现以往的知识经验，起到承上启下的作用。

探究新知

1、探索分析问题：

教材105页例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

学生独立分析，列出方程组，全班交流．

解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则

2、引导学生思考：

问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？

（两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）

问题2：能用代入法来解吗？

问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？

在师生对话交流中，完成本题的板书示范．

3、解后反思：

（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？

（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。

(3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、

设、列、解、检、答．

这里的反思突出了本课的重点，既帮助学生进一步完善代入法解题的步骤，又渗透解决实际问题的程序化思想。

巩固新知

练习1：用代入法解下列方程组．

（1）

（2）

两名学生演示，老师巡视，着重讲评第(2)小题．

第(2)题大多数同学的方法是：

由①得：x= ③ 把③代入②，...

这种方法计算量较大，容易出错．提出疑问："是否还有更好的解答方法？通过自主探究后发现

由①得，6y=13-5x ④，把④代人②解得，

x=5，把x=5代入④解得：y=－2

∴

解后反思：

1、把6y看作一个整体，代入消元，使解方程变得简单许多．

2、拿到方程，要善于观察结构特点，不急于动笔．

练习2.分层练习：

学生必须先尝试完成B层练习，如果有困难，那么可以先完成A层练习后再做B层练习，顺利完成B层的同学可以尝试完成C层练习．

A层：

1.将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y= ；化成用含有y的式子表示x的形式是x= 。

2．已知方程组：,指出下列方法中比较简捷的解法是（ ）

A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；

B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；

C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；

D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;

B组

3、用代入法解方程组：

（1） （2）

C组

4、解方程组：

5、已知方程组的解为，求a、b

练习3：实践活动

请你根据方程组编一道符合实际的应用题。

整体代入无代入法的一种重要技巧，它实质就是换元的思想．若学生仍感困惑也可用新未知数去替换原来视为整体的那一部分．

这里安排分层次练习，让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就

感教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展．这符合新课标的新理念：不同的人在数学上都能获得不同的发展.

小结与作业

小结提高

1、这节课你学到了哪些知识和方法？

比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．

2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？

让学生更加明确本节课的知识点，达到查漏补缺的目的。

布置作业

1、 做题：教科书112页习题8.2第2（3）（4）题，第4题。

2、 选做题：教科书107页练习。

3、 备选题：

（1） 解方程组

（2） 利用你学会的整体代入法解下面的方程组：

（3）小明外婆送来一篮鸡蛋．这篮鸡蛋最多只能装55只左右．小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数多少次，只好重数．他5只一数，结果剩下2只，可又忘了数多少次．他准备再数时，妈妈笑着说："不用数了，共有52只．"小明惊讶地问妈妈怎么知道的．妈妈笑而不答．同学们，你们知道这是为什么吗？

不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，达到因材施教的目的。

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

代入法解二元一次方程组是一项重要的数学基本技能．它需要通过一定的训练才能达到熟练、准确的程度．而学生最反感的就是机械的训练．本课设计充分考虑到这点，因而使练习呈现形式的多样化．比如自编考题、分层练习、实践活动等不时地给学生以新鲜感，而无重复枯燥之感．

学习数学，要不断归纳总结才能事半功倍，借以提高技能，提高才智．代入消元法的消元思想体现了数学学习中"化未知为已知"的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后，都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处．

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