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快乐课堂学数学-多余老师趣讲“有规律的数”-华东师范大学出版社七年级上册
一、 本单元概述
有规律的数，就是有理数。
在中学，人们把数学、物理、化学等科目归为理科，这个“理”就是规律、规则的意思。理科的特点，就是规律性、规则性很强，学习内容，就是探究各种各样的规律和规则。抓住规律和规则，就学好了理科，所以理科特别好学。
语文、英语等文科科目中，也有规律和规则，但文、理的规律和规则，有着非常明显的区分特点：
1、理科的“理”，是把客观存在的现象，总结成规律，把规律应用制定成规则，要求规则定得尽可能少、尽可能简单，使用范围尽可能广。
2、文科的规则，是根据人类主观的需要制定的，理科特征强的人类制定的规则，就会比较简单、精炼，而理科特征弱的人类，制定的规则就会五花八门、多不胜数。然后再根据规则的实际使用情况，总结成规律。
比如：英语中，复数的规则就定得简单精炼，一共两大条3小条，第一大条是不可数的不变化，第二大条是可数的根据发音变化，再分为2小条，一个+s，一个+es。但英语中，这样“理性的规律”太少太少，要是多了，不就成理科了吗？绝大多数的规则，是“非理性规律”，是“主观硬行的规定”，这就需要我们大量记性了。同学们在文科的学习中，可以用笔记本，把各种文科规则，按“理性的规律”和“主观硬行的规定”进行分类，“理性的规律”重在理解，掌握规则制定的方法，“主观硬行的规定”重在记忆，并在记忆中尝试能否找到一定的规律，或一部分的规律。
再比如：语文有白话文和文言文，白话文一开始是没有任何规则的，每一个写白话文的人都会根据自己的需要和习惯，自己定一些规则，然后，这些规则在传播的过程中，慢慢统一。并根据大家共认的、优秀的白话文文章，总结出多种多样的规律。好比，“你、我、他、她、它”在最初，有很多种书写表达方式，后来统一成了这几字。再好比，学语文课本的每一篇好文章，我们都要总结出相应类别的写作规律，写景的如何能写好，还要再把景分成“动”与“静”，或分成“山、水、花草”等。
而在有理数的学习中，我们则可以充分感受到，理科规则的简洁性、通用性。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。在数学学习中，要特别注意“数”（数量关系）和“形”（空间形式）之间的联系、对应，如：数与数轴、绝对值与两点间距离等。形成“数形结合思想”，能用“数”解释“形”，能用“形”解释“数”。
在有理数的四则运算中，进一步体会，理科规则的简洁、通用；养成“简单化”、“直接化”的数学意识，解决问题时，怎么简单怎么来、怎么直接怎么来。
有理数的乘方运算，要理解运算的层次、级别、各层次级别，为以后学习更高一级运算（幂运算）打好基础。通过科学计数法，初步体会乘方的简洁表达方式。并形成数学“最简”意识。
二、 从有理数看数学分类
我们最早学的数，是自然数。自然数的计数单位是“1”。其中，“0”可以表示起点、开始，“1、2、3***”可以表示顺序（第1个，是序数）。【华东师范大学出版社七年级数学上册教学课件,,免费下载】
自然数进行四则运算：
自然数+自然数=自然数；大自然数-小自然数（或本数）=自然数；自然数×自然数=自然数；【华东师范大学出版社七年级数学上册教学课件,,免费下载】
自然数÷自然数呢？发现有不能整除的。
因此，定下了“分数”，分数就是两个自然数的比值，分数比自然数特殊一点，也就有了一个特殊规定“分母为能为0”。
但分数的计数单位，要看分母，分母是几，计数单位就是几分之一，这太没规律了。
因此，定下了“小数”，小数是自然数和分数的统一形式，这样就把计数单位统一到了“1”。
从以上可以看到，小数，是一种“形式”，在分类时，不说小数。这样，在小学时，我们学过的数，，按计数单位，就分为两类，一是自然数，二是分数。
在上面，自然数的四则运算中，加法和乘法（加法的升级版），都没有任何限制，除法也只限制了0不能做分母（除数），却在减法中，加了限制，必须是“大-小”或“自已-自己”。
如果，“小-大”怎么办？
这个问题，就留到了初一来解决。怎么来解决？引入“负数”。
在这，也能看出，减法的一大功能是“比较数的大小”。即：两数相减，
得时大于0（为正），是“大-小”；
得数等于0，是“自己-自己”，两数一样大；
得数小于0（为负），是“小减大”。
什么是负数呢？就是在自然数和分数前面，加了一个“负号”的数。但是，我们在小学还遇到过不是自然数和分数的数，有“无限不循环小数”和“π”。
“无限不循环小数”是根据小数的形式，“构造”出来的数，用自然数和分数进行运算，是得不出“无限不循环小数”的，是一种“构造数”。
“π”称为圆周率，是一个圆的周长与其直径的比值，是图形中客观存在的，一种“客观数”。 这样，为了准确定义“负数”，建立这样的命名规则：
大于0的数，称为正数；小于0的数，称为负数。
由这个规则可知：负数，是根据数的大小，来分类的。
现在，把自然数和由自然数运算出的分数，统称为有理数。这个有理，就是有规律，什么规律？来自自然数和自然数的运算。
由此，将有理数进行分类，有两种分类方式：
一是按大小分，分为正有理数、0、负有理数。切记：0不是正数，也不是负数。（按大小分类，必然是三类，大于、等于、小于）
二是按形式分，分为整数（自然数加正负号）、分数。（小数，是分数便于比较大小的另一种形式） 两种分类同时使用，又可分出更多的小类。
每一个共同种类的数，放在一起，就是“数集”（数的集合）。“集合”要到高一时正式学习，现在对集合的初步概念，可当做“一种分类”或“一个范围”。
集合的表现形式，有三种，分别对应数学的“三种语言”：文字语言、符号语言、图形语言。
文字语言，是由语文文字而来，是最基本的语言。为了“简单化”、“直观化”，数学创造了符号语言和图形语言。
数集的纯数学语言，要到高一学习，现在使用的两种是，文字+符号、文字+图形。
集合的符号，用“{ }”（大括号）；集合的图形，用“椭圆”。分别用文字说明集合的名称。
关于“三种语言”，我们在以后的学习中，要慢慢体会，细细口味，它们各自的作用和优势。
到此，我们把数的范围，拓展到了有理数。其实，也就比小学的数，多了一个“-”。
既然有理数的拓展范围，就是多了个“-”，那不是，只要把“-”的意义和作用搞明白，有理数、有理数的计算，不就全学会了吗？
“-”的正式名称，是“相反号”。在具体使用时，根据使用情况，使用相应的具体名称。如：
在正数前加个“-”，表示负数，此时，“-”是“负号”（表示与正数相反，正数的“+”号，根据“简单化”，省略不写）。如：-5，表示“5的相反数”。
在两数相减时，“-”是减号（与加号相反）。
所以，“负号”只能在表示“数”时，称为“负号，不能在表示“量”时，称为“负号”。如：-2千米，就为“反向2千米”；-5摄氏度，读作零下五摄氏度。
“相反号”，在以后要接触的物理、化学中，有着更广泛的应用。
三、 从数轴、相反数、绝对值、数的大小比较，看“数形结合”【华东师范大学出版社七年级数学上册教学课件,,免费下载】
请做填空题：
数轴是（ ）。（要求只能填一个名词）
数轴是（ ）。（要求填加了一个定语的一个名词）
数轴是（ ）。（填完整的定义）
通过这个填空题，我们要学会，学习时抓核心元素的方法和习惯。
我们之所以让“形”的“直线”与“数”中的“数字”对应，是因为二者具有共同的特征：
都具有“无限性”，直线没有端点，数字没有最大、也没有最小；任意两点之间，都有无限多个点，两数之间，不是有无限多个数。
轴数的核心，是用直线与数对应，所谓的数轴三要素，重要的是正方向（即数轴的箭头），一般水平
数轴，右为正方向。原点和单位长度，可以任意规定，在画草图时，这二者都可以不画。
利用“形”，我们可以把“数”进行直观化，使我们的理解过程、思考过程，变得“简单化”“直接化”。
用数轴可以很直观地、很简单地判断出，两个数的大小。课本上说“右边的大”，多余老师要特别进行纠正，应该是“正方向一侧的大”，因为数的正方向，并不是只能向右。
相反数，是一个“相对词”，相对词，在使用时，必须说明是相对与谁而言。
比如：“男同学”就是一个“绝对词”，但“儿子”就是一个“相对词”，你可以说“我是男的”，但你不能说“你是儿子”，你得说明你是谁的儿子。
同样，对于-5，你只能说“5是-5的相反数”，而不能说“相反数是5”。这体现了数学语言的“严谨性”和“完整性”。数学用语，不能像语文用语，不能产生“歧义”、“多义”。一句数学用语，只能产生唯一的意思，而且是完整的，不能有省略语。
相反数，从符号语言说，就是只有正负号不同的两个数，是互为相反数；从图形语言说，数轴上关于原点（0）对称的两个点（数），是互为相反数。
在这里，更能体会到“-”是相反号的意义了。
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作|a|。
绝对值是“距离”，是“线段的长度”，所以，绝对值是“形”的用语，而不是“数”的用语。绝对值号，是“形”的符号，是性质符号，而不是运算符号，求绝对值不是数的运算。
由此可知：
绝对值是非负数（大于等于0）；非负数的绝对值就是自己；负数的绝对值是其相反数。
绝对值的拓展：
|a-b|，表示a、b两点间的距离。其结果=“大-小”（“正向一侧的点”-“反向一侧的点”）。
数的大小比较，在前面已经说过了：
一是“形”的方法，看数轴，正方向一侧的数大。
二是“数”的方法，两数相减，差大于0，则是“大-小”，差小于0，则是“小-大”。
四、 从有理数的四则运算和乘方，看数学知识的层次性和规则的通用性
在小学，我们已经学习过四则运算，我们知道：
一是先乘除，后加减，括号绝对优先。
二是加法和乘法都有交换律、结合律；乘法和加法混合有分配律。
三是除以一个数，等于乘这个数的倒数。
四是乘法的0很特别，0乘任何数还是0。
五是能简便运算就简便运算，简便运算的目的，一是消数，二是凑整。
这些规则，在现在仍然使用。
由于“除以一个数，等于乘这个数的倒数”，于是，除法被乘法统一了，看到除号，就看成分数线。那么，乘除可以统一，加减能统一吗？当然能，用了“相反号”后，减号就可以当成负号，这样，减法就被加法统一了。看到“-”，全是负号。
这样，有理数的四则运算，就变成了加和乘两种了
由于，有理数，就比小学多了一个“-”，所以，在有理数的计算时，处理“-”，就成了“优先级”。
1、相乘时，先看0，有0得0；再看正负号，一个“-”反一次，再“-”，就正过来了，即“反反为正”（负负得正），扩展后成为：正负号相乘，看负号，偶数个为正，奇数个为负。
2、相加时，能抵消的先抵消（互为相反数先抵消或正负数的整十整百等先抵消），再分类相加，正数相加得到一个正数，负数相加得到一个负数，最后，如是两个异号相加，大-小为正，小-大为负。
在小学时，我们已知道：乘法是加法的升级版，即乘法是求几个相同加数的和的运算。所以，加法是一级运算，乘法是二级运算。
现在，把乘法再来一个升级版。求几个相同因数的积的运算，命名为乘方。乘方是三级运算，即计算时，先乘方，再乘除，最后加减。
而乘方的符号确定方法，与乘法符号确定方法一样。
所以，有理数的运算，处理好符号，余下的就是小学数学了。
五、从科学记数法和有效数字，看小数形式的优点
前面，在说有理数时，已经说过，有理数分为整数和分数，可分数的大小不便于直接比较，于是把分数转化成小数形式，就可以直接比较大小了。
而且，运用乘方，也能将整数改写成小数形式。这就是科学计数法。
科学计数法，把整数和分数，都统一成了小数形式。
为什么要变成小数形式呢？
一是小数形式便于直接比较数的大小。
二是对于数位较多、且无效数字也多的数，用科学计数法，书写“简单化”。
由于，现阶段，所学乘方的指数，只是正整数，所以还只能用科学计数法表示大于10的数。等以后，指数拓展到所有整数时，就可以用科学计数法表示所有的有理数了。
有效数字，就是从个位开始，把连续用于补充数位的0去掉。如：
0．00302，前面的0．00去掉，有效数字是3、0、2，共三个有效数字。
保留几个有效数字、精确到某个数位，都是取近似数时，表示精确程度的。
而取近似数的方法，还是小学那一套，“四舍五入”或“进一”。
总之，有理数这一单元，比小学多的就是，“-”、乘方、科学计数法。其余的，还是按小学的规则来。这就是数学规则的“简洁性”和“通用性”（或叫“统一性”）。
所以，初一的内容真的很简单，关键是：从小学生到中学生，转变的是学习方法和习惯，提升的是思维水平。
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