九年级上册数学反比例函数的概念

【www.guakaob.com--教案】

九年级上册数学反比例函数的概念(一)
九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题

第十三讲 反比例函数

第一部分 知识梳理

一、反比例函数的解析式

1．反比例函数的概念

一般地，函数y

1

k

（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以x

写成ykx的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数y

k

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x

一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质

1．反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质

3．反比例函数中反比例系数的几何意义

①过双曲线y

k

(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k。 x

〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数y

k1

(k0)。由于x1，所以反比例函数也可以写成

xx

yx1（k是常数，k≠0）的形式，有时也以xy=k（k是常数，k≠0）的形式出现。（1）k

＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．

〖参考答案〗解：∵函数ym1x

m25

2

是反比例函数，且图象在第二、四象限内，

m251

∴，解得m=±2且m＜﹣1，∴m=﹣2．故选B．

m1＜0

【课堂训练题】

1．（2000•甘肃）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式． 〖难度分级〗A类

〖参考答案〗解：设y1=k1x（k1≠0），y2=错误！未找到引用源。 ∴y=k1x+错误！未找到引用源。 ∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5，

k1k21k11∴，∴。

3kk5k2212

∴yx

2

。 x2

k1k2k1k

与y2，如果存在函数y（k1k2＞0）则称函数

xxx

2．定义：已知反比例函数y

y

1k2x

为这两个函数的中和函数。

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为yy随x的增大而增大。 （2）函数y求当y

2

，并且其中一个函数满足：当x＜0时，x

312k和y的中和函数y的图象和函数y=2x的图象相交于两点，试xxx

k

的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围。 x

〖难度分级〗B类

〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误！未找到引用源。， 并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大．

∴答案不唯一，如错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。等； y=

3 x

（2）∵错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中和函数错误！未找到引用源。，

6

y

联立方程组x，

y2x

解之得两个函数图象的交点坐标为（3，23）（3，23），结合图象得到当y的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围是x＜或0＜x．

k

x

【例题2】如图所示是反比例函数y

2n4【九年级上册数学反比例函数的概念】

的图象的一支，根据图象回答下列问题： x

（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n的值；

（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），如果a1＜a2，试比较b1和b2的大小．

〖难度分级〗B类

〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题

〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．

〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；

（2）把点的坐标代入反比例函数求出n值，即可求出函数解析式；

（3）根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，在每个象限内，函数值y随x增大而减小。 〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n﹣4＞0，解得：n＞2 （2）将点（3，1）代入y（3）∵2n﹣4＞0，

∴在这个函数图象的任一支上，y随x增大而减小， ∴当a1＜a2时，b1＞b2． 【课堂训练题】 1．如图是反比例函数y

2n42n4

得：1，解得：n=错误！未找到引用源。； x3

m5

的图象的一支． x

（1）求m的取值范围，并在图中画出另一支的图象；

（2）若m=﹣1，P（a，3）是双曲线上点，PH⊥y轴于H，将线段OP向右平移3PH的长度至O′P′，此时P的对应点P′恰好在另一条双曲线y的面积为 ，k= ．（直接填写答案）

k

的图象上，则平移中线段OP扫过x

九年级上册数学反比例函数的概念(二)
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳

新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题

（一）知识结构

（二）学习目标

1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．

2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关

系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．

4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．

5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点

1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．

2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件；

，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式

中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数（二）反比例函数的图象

的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

在用描点法画反比例函数称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对

1．函数解析式：（

）

2．自变量的取值范围： 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当 当

时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

，

）

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（在双曲线的另一支上． 图象关于直线

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（

，）

在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于

B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线 当

与双曲线的关系：

时，两图象必有两个交点，且这两

时，两图象没有交点；当

个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析

1☆．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．

C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

A． B． C． D．

答案：（1）C；（2）A．

2．图象和性质

是反比例函数，

（1）已知函数

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数第________象限．

的图象位于

（3）若反比例函数过第_____象限．

经过点（，2），则一次函数的图象一定不经

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线

不经过的象限是（ ）．

的图象上，

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

A． B． C． D． 答案：（1）①

②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．

3．函数的增减性

（1）在反比例函数

，则

的值为（ ）．

的图象上有两点，，且

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

（2）在函数则函数值 A．＜

、＜

、＜

（a为常数）的图象上有三个点的大小关系是（ ）． B．

＜

＜

C．

＜

，，，

＜ D．＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

y随x的增大而减小的函数有（ ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0

时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．

九年级上册数学反比例函数的概念(三)
九年级上册数学教案：反比例函数的概念、图像与性质

【九年级上册数学反比例函数的概念】

博途教育学科教师辅导讲义(一）

九年级上册数学反比例函数的概念(四)
北师大版九年级数学 反比例函数精华总结

反比例函数精华总结教案

学习目标

1、使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

y

k

k为常数，k0，能判断一个给定函数是否为反比例函数。 x

2、能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式和图像法的各自特点。

3、能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数y

k

k为常数，k0的函数关系和性质，能利用这些函数性x

质分析和解决一些简单的实际问题。

4、再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画显示世界中变化规律的重要数学模型。

5、使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。

知识结构

要点梳理

要点l. 反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 1、反比例函数的定义

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零；（2）

k-1

或y=kx（k为常数，k0）的形式，那么称y是xx

2k

中分母x的指数为1，如y2不是反比例函数。

xx

（3）自变量x的取值范围是x0一切实数.（4）自变量y的取值范围是y0一切实数。

例：下列等式中，哪些是反比例函数 （1）y（6）y

x532

（2）y （3）xy＝21 （4）y （5）y 3x22xx

1

3 （7）y＝x－4 x

k

（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）x

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成y是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是y的形式

答案：（2）、（3）、（5） 练习题：

1、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：

13x

，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义x

kk2134114y,y,y,y,yx,y3,y2

xx5xx12xx

2y

,8,y2x3,xy36 xx

x12

,yx1,yx,yx2 3、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：y2x1,yx,y53

2、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：y3x,y

2、反比例函数的意义：①k0

②其中x是自变量，且x0 ③其中y是函数，且y0

k

k0yx

④表达形式：xykk0

yx1kk0

⑤在表达形式y是﹣1

例：（1）函数yx

2m

k

k0中，x的次数是1；在表达形式yx1kk0，x的次数x

是反比例函数，求m的值【九年级上册数学反比例函数的概念】

（2）函数ym1xm2是反比例函数，求m的值

（3）已知反比例函数ym2xm3，当x=3时，对应的函数值是多少？ 解：（1）依题意得，2m1 所以，解得 m3 （2）依题意得，

m21①m10②

由①得m3；由②得m1 所以，有m3 （3）依题意得，

m31①m20②

由①得m4；由②得m2 所以，有m4

m3

当m4时，ym2x是反比例函数，即y

4

. x

故当x=3时，y

举一反三： 1. 若yx2. 若yx

m3

4 3

是反比例函数，求m的值 是反比例函数，求m的值

m15

3. 若函数y

1x

m1

m是常数是反比例函数，求m的值

k5

4. 若函数yk2x

是反比例函数，求k的值 是反比例函数，求m的值

5. 若函数ym5x

1m

k

6. 若函数yk1x是反比例函数，求k的值 k

7. 若函数yk3x

2

2

10

是反比例函数，求k的值

8. 若函数y=（m+2）x|m|-3是反比例函数，求m的值 9. 在反比例函数yk3x

k5

中，当x=20时，对应的函数值是多少 中，当x=﹣2时，对应的函数值是多少

10. 在反比例函数ym5x

1m

要点2. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 1、反比例函数关系式的确定方法：

k

中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例x

k

函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y中即可求出k的值，从而确定反比例函数的

x

待定系数法，由于在反比例函数关系式y关系式。

2、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

k

（k0）； ②根据已知条件，列出含k的方程； x

k

③解出待定系数k的值； ④把k值代入函数关系式y中。

x

①设所求的反比例函数为：y

3、待定系数法求反比例函数的解析式1

例：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值

解：（1）设y

kk

，因为当x=2时y=6，所以有6 x2

12

x

解得 k=12

因此，y与x的函数关系式是y （2）把x=4代入y

1212

3 ，得y

x4

所以，当x=4时，y=3

举一反三：

1、如图，某反比例函数的图像过点M（2，1），则此反比例函数关系式为（

2

（A）y

x

2

（B）y

x

（C）y

1 2x

（D）y

1 2x

第1题

2

时，y的值 3

3、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=5，求（1）y与x的函数关系式；（2）当x2.5时，y的值

3

4、已知y与x成反比例函数，当x=2时，y=3.（1）求y与x的函数关系式；（2）当x时，求y的值

2

2、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8，求（1）y和x的函数关系式；（2）当x2

5、已知y是x的反比例函数，当x=1时，y=﹣3，求（1）y与x的函数关系式；（2）当x=2时，求y的值 6、已知y与x成反比例函数，当x=3时，y=4，求（1）y与x的函数关系式；（2）当y=3时，求x的值

待定系数法求反比例函数的解析式2

例：已知y是x+1的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值

解：（1）由已知条件设有解析式为y ∵当x=2时，y=6.

∴有6

k

x1

k

，解得k18 21

18

x1

181818

（2）当x=4时，有y x1415

∴y与x的函数关系式为y

举一反三：

1. 如果y与x+2成反比例，且当x=3时，y=1，求y与x之间的函数关系式． 2. 如果y与x-2成反比例，且当x=3时，y=5，求y与x之间的函数关系式． 3. 如果y与x-6成反比例，且当x=8时，y=

1

，求y与x之间的函数关系式． 2

4. 如果y+3与x成反比例，且当x=6时，y=1，求y与x之间的函数关系式．

5. 已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x之间的函数关系式为____________

6. y-1=

3

可以看作_______和_______成反比例，k=________． x2

待定系数法求反比例函数的解析式3

例：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值 解：（1）由已知条件设有解析式为y

∵当x=2时，y=6. ∴有6

2

k

2x

k

，解得k24 22

∴y与x的函数关系式为y

（2）当x=4时，y

举一反三：

24 x2

242432 2

2x4

1. 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6. 写出y与x的函数关系式 2. 已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=18. 写出y与x的函数关系式 3. 已知y是x的反比例函数，当x=-1时，y=6. 写出y与x的函数关系式

待定系数法求反比例函数的解析式4

例：已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5

（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝－2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。

略解：设y1＝k1x（k1≠0），y2

22

2

k2k

（k2≠0），则yk1x2，代入数值求得k1＝2， xx

2

，当x＝－2时，y＝－5 x

k2＝2，则y2x

举一反三：

1. 已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9，求当

x＝－1时y的值

2. 已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x=2与x=3时，y的值都等于19，求y与x的函数关

系式．

3. 已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=-1时y=-5，当x=1时，y=1，求y与x之间的函

数关系式． 4. 已知函数yy1y2，且y1为x的反比例函数，y2为x正比例函数，且x

3

和x=1时，y的值都是1.（1）2

求y关于x的函数关系式。 （2）求x=3时y的值。（3）当x为何值时，y的值是-1 要点3. 反比例函数的图象

重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用

本文来源：http://www.guakaob.com/shiyongwendang/645663.html