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“平方差公式”教学设计
一、 教学目标
1、知识与技能：理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式进行运算。
2、过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，感悟换元的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维。
3、情感与态度：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验。 二、重点、难点分析
（1） 重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式。 （2）难点是公式推导的理解及字母的广泛含义。 三、教学互动设计
1
3
平方差公式导学案
一、 学习目标
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 3．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 4．培养学生观察、归纳、概括的能力． 二、学习重点：平方差公式的推导和应用．
学习难点： 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 三、学法指导
（一）探究平方差公式 自主探究：
计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1）= （2）（m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= （4）（x+5y）（x-5y）=
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
用字母表示： 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算 （二）平方差公式的应用 例1：运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y）
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b． 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2 - 22 （a + b）（a - b） = a2 - b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
解：（1）（3x+2）（3x - 2）= （2）（b+2a）（2a - b）= （3）（-x + 2y）（- x- 2y）= 例2：计算： （1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
解：（1）102×98
1
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、
五、课堂检测： 计算：
多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式． （4）运算的最后结果应该是最简 巩固练习
1、下列计算对不对？如不对，应当怎样改正 （1） （x+2）（x-2）= x2 - 2 (2) (-3a-2)(3a-2)= 9a2 -4 1、 计算：
(1) (a+3b)(a-3b)= (2) (3+2a)(-3+2a)= （3）（-a-b）（a-b）= （4）（a5-b2）（a5+b2）= （5）（a - b）（a+b）（a2+b2）= (6) 51 49 =
四、学习反思
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
2
（xy+1）（xy-1）= (2a-3b)(3b+2a)= (-2b-5)(2b-5) = ( x-y)( x+y)=
(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(2x-2) 998 1002 = 2001 1999 =
课题：15.2.1平方差公式（1）
姓名：黄波
一、教材分析：
（一）学习目标：
1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.
2.培养概括能力，发展符号感.
（二）学习重点和难点：
1.重点：运用平方差公式进行计算.
2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式.
二、自学提纲：阅读P151—153页（练习完）回答下列问题：
1.仔细研读151页中探究并填空，
（1）用文字和符号叙述平方差公式. （2） 公式中的字母a、b可以
是（数字、单项式、多项式等）.
2、别是两个数的和与这两个数的差；右边的积是乘式中两个数的平方差）。其使用条件是。
2.152页中“思考”说明：________________=____________________
3.细心研读152页例1,运用公式:_________________ . 在分析中,把每
个题中相应的项看做a和b,其中(2)题中_____看做a, ____ 看做b.
(3)题中_____看做a, ____ 看做b,你认为哪个题易出现错误
_______________【平方差公式教案】
4.例
2中,(1)102=______,98=_______这样写目的是用
_______________,你举2个例子(并计算)
(2)小纸鉴说明:________________________________________
5. 完成153页中的练习.
三、强化训练：
1 . 判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；（ ） (2)(b+a)(a-b)=a2-b2；（ ）
(3)(b+a)(-b+a)=a2-b2;（ ） (4)(b-a)(a+b)=a2-b2；（ ）
(5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （ ）
2.可以用平方差公式计算的是（ ）
A (2a-3b)(-2a+3b) B (-3a+4b)(-4b-3a)
C (a-b)(b-a) D (a-b-c)(-a+b+c)
3.用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m)
(3) (3b+a)(a-3b) (4) (7-2a)(-7-2a)
(5) 2001×1999 (6) 998×1002
（7） (y+3)(y-3)-(y-4)(y+5) （8）（a-b）（a+b）（a2+b2）
4.a-b=20,且a+b= -5, 则。
5.对于任意的整数n，能整除(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是四、谈本节课收获和体会：
五、作业：（1）156页 1. （2） 资料
22
课题：15.2.2完全平方公式（1）
姓名：黄波
一、教材分析：
（一）学习目标：
1.经历推导完全平方公式的过程，会运用完全平方公式进行计算.
2.培养数学语言表达能力和运算能力，发展符号感.
（二）学习重点和难点：
1.重点：运用完全平方公式进行计算.
2.难点：完全平方公式的运用.
二、问题导读单：阅读P153—155页（练习完）回答下列问题：
1. 仔细研读153页中探究并填空。
（1）用文字和符号叙述平方差公式. （2） 公式中的字母a、b可以
是（数字、单项式、多项式等）.
2、说明完全平方公式的特征是个数的和（或差）的平方；右边是一个二次三项式，其中两项是左边
的两项的平方和，第三项是左边两项的积的2倍，且符号与左边的符号相同）。其使用条件是 。
2.154页中“思考”说明：________________=______________________
3.细心研读154页例3例4,运用公
式:________________________________(注意解题步骤), 例4
中,(1)102=______,98=_______这样写目的是用_______________,你举
2个例子(并计算)___________________________,_________________
4. 155页“思考”问题答案：__________________________________
5.完成155页中的练习.
三、强化训练：
1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的 ，
即(a+b)(a-b)= ，这个公式叫做 公式.
2. 下列计算正确的是（ ）
A (a-b)2=a2-b2 B (a+2b)2=a2+2ab+4b2；;
C (-m-n)2=m2+2mn+n2； D (a2+b)2=a4+2a+1；
3.运用完全平方公式计算：
(1) (x+6)2 (2) (-m-2)2 (3) (-2x+5)2 (4) (x-y)2
4332
(5) [(a-b)2 -(a+b)2 ] 2
4. (x-2y)2 =(x+2y)2=m.则m等于（ ）
A 4xy; B -4xy; C 8xy; D -8xy
5.已知16x2+kx+1是完全平方式，则k等于 。
6. 已知x-y=9，xy=8,则x2+y2的值是 .
7.化简求值：
(3x+2y)(3x-2y)-(3x+2y)2+(3x-2y)2 其中x=3,y=2
四、谈本节课收获和体会：
五、作业：（1）课本156页 2、 4；（2）资料
课题：15.2.2完全平方公式（2）
姓名：黄波
一、教材分析：
（一）学习目标：
1.知道添括号法则，会添括号.
2.会先添括号再运用乘法公式.
3.培养学生的运算能力，发展符号感.
（二）学习重点和难点：
1.重点：先添括号再运用乘法公式.
2.难点：先添括号再运用乘法公式
二、问题导读单：阅读P155—156页（练习完）回答下列问题：
1.与同学交流说明去括号法则，去括号：
(1)(a+b)-c (2)-(a-b)+c (3)a+(b-c)
(4)a-(b+c) (5)a+2(b-c) (6)a-3(b+c)
(7)4(a+b)-c (8)-5(a-b)+c
2．仔细研读155页引例，与同学交流去括号法则，添括号：
(1) a+b-c= （_______）-c (2) a+b-c= -（_______）
-c
(3) a-b-c= （_______）-c (4) -a+b-c= -（_______）
-c
3. 仔细研读155页例5,解题过程中,
第一个等号根据___________做了:___________________________,
15．3．1 平方差公式
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
（二）能力训练要求
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
2．培养学生观察、归纳、概括的能力．
（三）情感与价值观要求
在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美． 教学重点
平方差公式的推导和应用．
教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学方法
探究与讲练相结合．
通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
2 =2000-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
Ⅱ．导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1•这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：（1）（x+1）（x-1）
2 =x+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）
=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
2 =x+5y·x-x·5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=50-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）
=（-a）2-b2=a2-b
2 2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）
22（a-b）=a-b起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【平方差公式教案】
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（出示投影片）
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座． 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2【平方差公式教案】
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
22 =100-2=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
Ⅲ．随堂练习
出示投影片：
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．•这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公
式．•如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2． Ⅴ．课后作业
1．课本P179练习1、2．
2．课本P182～P183习题15．3─1题．
《三级训练》
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