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六年级数学（上）课堂导学案
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北师大版小学《数学》六年级上册
教材分析及重点问题与解答
北师大版小学《数学》六年级上册教材分析
北师大版小学《数学》教材六年级上册，如何体现《课程标准》以及整套教材的基本理念和要求？在教材构思与编写上有哪些特点或创新？实施教学时应注意什么？下面将就这些问题，结合本册教材的学习内容作一些具体分析和说明。
一、本册教材的学习内容与目标
（一）数与代数
1．第二单元“百分数的应用”。学生将在这个单元的学习中，在具体情境中理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义，加深对百分数意义的理解；能利用百分数的有关知识或运用方程解决一些实际问题，提高解决实际问题的能力，感受百分数与日常生活的密切联系。
2．第四单元“比的认识”。学生将在这个单元的学习中，经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义及其与除法、分数的关系；在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变的性质和分数的基本性质化简比；能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，提高解决问题的能力，感受比在生活中的广泛应用。
（二）图形与几何
1．第一单元“圆”。学生将在这个单元的学习中，结合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆及圆的对称性，认识到同一个圆中半径、直径、半径和直径的关系，体会圆的本质特征及圆心和半径的作用，会用圆规画圆；结合具体情境，通过动手实验、拼摆操作等实践活动，探索并掌握圆的周长和面积的计算方法，体会“化曲为直”的思想；结合欣赏与绘制图案的过程，体会圆在图案设计中的应用，能用圆规设计简单的图案，感受图案的美，发展想像力和创造力；通过观察、操作、想象、图案设计等活动，发展空间观念；结合具体的情境，体验数学与日常生活密切相关，能用圆的知识来解释生活中的简单现象，解决一些简单的实际问题；结合圆周率发展历史的阅读，体会人类对数学知识的不断探索过程，感受数学文化的魅力，激发民族自豪感，形成对数学的积极情感。
2．第三单元“图形的变换”。学生将在这个单元的学习中，通过观察、操作、想象，经历一个简单图形经过平移或旋转制作复杂图形的过程，能有条理地表达图形的平移或旋转的变换过程，发展空间观念；经历运用平移、旋转或作轴对称图形进行图案设计的过程，能灵活运用平移、旋转和轴对称在方格纸上设计图案；结合欣赏和设计美丽的图案，感受图形世界的神奇。
3．第六单元“观察物体”。学生将在这个单元的学习中，能正确辨认从不同方向（正面、侧面、上面）观察到的立体图形（5个小正方体组合）的形状，并画出草图；能根据从正面、侧面、上面观察到的平面图形还原立体图形（5个正方体组合），进一步体会从三个方向观察就可以确定立体图形的形状；能根据给定的两个方向观察到的平面图形的形状，确定搭成这个立体图形所需要的正方体的数量范围；经历分别将眼睛、视线与观察的范围抽象为点、线、区域的过程，感受观察范围随观察点、观察角度的变化而改变，能利用所学的知识解释生活中的一些现象。
（三）统计与概率
第五单元“统计”。学生将在这个单元的学习中，通过投球游戏、两城市降水量等实例，认识复式条形统计图和复式折线统计图，感受复式条形统计图和折线统计图的特点；能根据需要选择复式条形统计图、复式折线统计图有效地表示数据；能读懂简单的复式统计图，根据统计结果做出简单的判断和预测，与同伴进行交流。
（四）综合与实践
本册教材安排了三个大的专题性的活动，即“数学与体育”、“生活中的数”，旨在促使学生综合运用所学的知识解决某一生活领域的实际问题。教材还安排了“看图找关系”的专题，旨在使学生体会图能直观、清晰、简捷地刻画关系。同时，还在其他具体内容的学习中，安排了某些综合运用知识解决简单的实际问题的活动。学生在从事这些活动中，将综合运用所学的知识和方法解决实际问题，感受数学在日常生活中的作用；获得一些初步的数学活动经验和方法，发展解决问题和运用数学进行思考的能力；感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；在与同伴合作和交流的过程中，发展数学学习的兴趣和自信心。
（五）整理与复习
教材安排了两个整理与复习和一个总复习。整理与复习改变单纯做题的模式，注重发展学生自我反思的意识。每个整理与复习都分成三部分：对所学内容的整理，提出数学问题并尝试解答一些练习题目。
“你学到了什么”这个栏目，目的是鼓励学生对学过的知识进行回顾与反思，能运用列表或采用其他的形式对所学的主要内容进行简单的整理。
“运用所学的知识提出相关的数学问题，并尝试解决问题”，目的是培养学生提出问题、解决问题的能力；在解决问题过程中加深对所学知识的理解；回顾在学习过程中自己的体会与进步。
二、本册教材编写的意图和特色
本册教材力求体现整套教材的基本特点，重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系；以学生的数学活动为主线呈现学习内容；创设生动有趣的情境，引导学生在解决现实问题的过程中，经历抽象数学模型并进行解释与应用的过程，从中获得对数学知识的理解和体验；注重学生的数感、空间观念、统计观念等的发展；避免程式化地叙述“算理”和死套题型地进行操练。下面具体阐述本册教材编写的意图和特色。
（一）数与代数
在数与代数中，重视运用百分数的意义解决实际问题，注重从具体实例中抽象出比的过程及对比的意义的理解。
第二单元 百分数的应用
○单元学习内容的前后联系
简单应用，运用方程解决简单的百分数问题，本单元在此基础上进一步学习百分数的应用。本单元学习的主要内容有：百分数的进一步应用、运用百分数的意义和用方程解决简单的百分数问题，利用百分数解决与利息有关的问题。
○课时安排建议
本单元建议教学课时数：11课时。
○本单元的编写意图和教学建议【新世纪小学数学北师版第四版六年级上册导学案】
1、注重百分数在实际生活中的应用
在“百分数应用（一）和百分数应用（二）”的内容中，教材原来选用了“杂交水稻”的材料作为情境的背景信息，希望通过这样的学习材料让学生了解现代农业科技方面的知识，了解中国著名农学家袁隆平院士，但从多个实验区教师使用的情况看，由于情境中“普通水稻”、“杂交水稻”等专业名词较多，语言表述比较麻烦，不利于学生的理解和数学交流，甚至干扰了学生的数学思维，如有老师提出“采用杂交水稻的情境，背景过于抽象，离学生生活太远，学生理解起来困难重重，不能很好地为百分数应用做铺垫，也降低了学生学习的兴趣”等。因此，本次修改时调整了这两个情境。
百分数应用（一）采用了“水结冰”作为背景材料，引出“增加百分之几”的实际问题。教材呈现了“一个小朋友用水冻冰块时发现体积变了”的实际情境，引出“水结成冰，体积会增加”的知识背景。再呈现一个具体的问题，引出“增加百分之几”的实际问题，引导学生分析数量关系，用百分数知识解决实际问题，进一步体会百分数的意义。
百分数应用（二）采用了“火车提速”的生活实际情境，引出“比一个数增加百分之几”的实际问题，引导学生分析数量关系，用百分数知识解决实际问题，进一步体会百分数的意义。同时，把原来的“杂交水稻”的情境作了适当简化，设计成一组练习，引导学生综合运用百分数知识解决问题，进一步巩固知识，并了解有关现代农业科技方面知识和著名农学家袁隆平院士的基本情况。
2、鼓励学生根据问题中的数量关系以及百分数的意义解决问题
解决问题的培养是数学课程的重要目标之一。而学生解决问题能力的提高需要有序和有效的帮助，特别是到了中高年级，应用问题的选取题材视野逐步拓宽、信息的数量逐步增多、数量关系相对越来越复杂，就更需要为学生提供一些方法和策略作解决问题的有效支撑。因此，教材在“百分数应用”的几个内容中，都增加了引导学生用“图式表征”等方式表征问题、引导学生表述解题思路、鼓励学生用不同的方法与策略解决问题等，帮助学生“表征问题”、分析数量关系，提高解决问题能力。
如在“水结冰”的情境中，教材先引导学生画线段图理解“增加百分之几”，知道“增加百分之几”就是冰的体积比水增加的部分是水的体积的百分之几，并在此基础上引导学生分析数量关系和表述自己的解题思路，确定解决问题的方法，用百分数知识解决实际问题，进一步体会百分数的意义。解决问题时，主要是引导学生根据实际问题中的数量关系和“比原来快了40％”的意义解决问题，而不是依靠记忆题型和套用方法来解决问题，并鼓励学生用不同的解决问题的方法。
如“火车提速”的问题，学生可以有不同的解决问题的思路：
第一种，80×40％＝32（千米），80＋32＝112（千米），这是先求出火车现在比原来每时多行驶了多少千米；
第二种，80×（1＋40％），这是先求出火车现在的速度是原来的百分之几。
对于这两种方法，原来的教材呈现的都是分步列式，这次调整为一种方法呈现分步列式，另一种方法呈现综合算式。这样，具体解决问题时，学生既可以列综合算式，也可以用分步列式，综合思维能力强的学生以列综合算式为主，而综合思维能力较弱的学生可以以分步列式为主。在“百分数应用”中，又增加了计算保险费的内容等。(方法指导的补充)
3、运用方程解决简单的百分数问题
在解决实际问题的学习中，本套教材非常注重使学生理解问题中蕴涵的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的理解。因为，解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识别存在于日常生活、自然现象与其他学科等中蕴涵的数量关系，并把它们提炼出来，运用所学的知识对其进行分析，然后综合应用所学的知识和技能加以解决。因此，在解决具体问题时，教材总是鼓励学生思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系。例如，在“增加百分之几”的内容中，教材通过笑笑提出“增产百分之几”是什么意思，引导学生分析数量关系，再一次体会百分数的意义。需要注意的是，在本单元教学中，教师要鼓励学生根据实际问题中的数量关系和百分数的意义解决问题，而不是依靠记忆题型和套用方法来解决问题。
4、解决与“利息”有关的问题。注意两个变化：由“问题情境”向“问题模型”的变化，由“问题情境”向“运算意义”的变化。在变化的过程中反思“积累原型和典型问题”；反思“解决问题的过程及策略，积累数学经验，提出新的问题”。
第四单元 比的认识
○单元学习内容的前后联系
这部分内容是在学生已经学过分数的意义以及分数与除法的关系的基础上学习的。本单元学习的主要内容有：比的意义、比的化简、比的应用。本单元主要通过三个活动引导学生展开学习：生活中的比、比的化简、比的应用。
○课时安排建议
○本单元的编写意图和教学建议
1、提供多种情境，使学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程
比是数学中的一个重要概念，但小学生理解比的意义往往比较困难，于是教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了多个情境，为学生理解比的意义提供了丰富的直观背景和具体案例，引发学生的讨论和思考，并在此基础上抽象出比的概念，使学生感受到需要刻画两个量之间的关系，体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛存在。
教材原来创设了三个情境，丰富的情境有利于学生理解比的概念。让学生经历从具体情境中抽象出比的过程。
教材首先赋予“数形结合”一定的实际背景，创设了观察照片、图形分类研究的探索活动（如图），激发学生学习兴趣，体会引入比的必要性；同时，减少了学生根据指令性要求的操作，以引导学生观察研究长方形长与宽的关系为主，经历观察、发现、验证的探索过程。教材呈现了五张有趣的淘气的照片（其中两张长与宽的比与照片A是相同的，另外两张是不同的），引导学生观察四张照片，与照片A进行比较哪几张比较像，并用“像”、“不像、“变形了”等自己的语言叙述，使学生对长与宽的关系产生直观感受，并激发探索知识的兴趣。在学生直观观察的基础上，再组织学生开展探索活动。教材将五张照片的形状画在方格纸上，引导学生探索这些长方形长与宽之间的关系，发现长方形长与宽之间的倍数关系，通过“数形结合”使学生对比形成深刻的体验。同时，借助图形分类使学生体会引入比的必要性，当把图形A，B，D分成一类时，不仅要考虑它们的长或宽，而是考虑了长和宽之间的倍数关系，它们的长都是宽的1.5倍，宽是长的2/3，所以把它们归为一类。在学生研究得出长、宽关系的基础上，再引导每一个学生画一个具有这样的关系的长方形，进一步丰富例证，加深直观体验。在这样三个情境引出比的概念的基础上，教材在“说一说”、“练一练”等内容中又增加了“男女生人数的比”、“头长与身高的比”、“正方形周长与边长的比”、“斜坡中的比”等丰富的情境，让学生写出比并解释比的意义，促进对比的概念的进一步理解。
2、注重引导学生利用比的意义解决实际问题
比在生活中有着广泛的应用，教材不仅仅在引入比时为学生提供了丰富的现实情境，还鼓励学生寻找生活中的“比”，设计实践活动使学生认识到身高与影长的比，设计“你知道吗”使学生认识到比的知识与日常生活的密切联系。
3、结合具体情境，体会化简比的必要性，并会正确化简比。
教材还特别安排了解决按照一定的比进行分配的实际问题，但教材中没有给出这个名称。目的有二：
第一，由于按比例分配问题有一定的解题方法，教材担心引入这个名称后，在教学时又把这一问题归成一个类型，会很快引入解这个类型问题的方法，学生也会把解决问题变成套用方法。而学生通过对比的意义的理解，完全可以自己探索出解决问题的方法。所以，教材鼓励学生根据比的意义解决这一问题。
第二，如果引入“按比例分配”的名称，学生可能会询问什么是比例，于是又要引入比例的概念。这样一来，在学生刚刚接触比的学习，就引入了比、比例、比值等概念，将会使学生将大量精力放在区分这几个概念上，而忽略了对比的意义的理解。因此，教材没有引入“按比例分配”的名称，而把这节课定位于比的应用。
这类问题在生活中有着广泛应用。教材鼓励学生根据比的意义解决这一类问题。在此基础上，教
材又安排了生活中不同方面的例子，鼓励学生运用合理的策略解决实际问题。
比的化简的内容，在实际教学中，部分教师提出是否应该增加“比的基本性质”的内容。
编写组讨论后认为：“比的基本性质”与分数的基本性质和除法的商不变规律的实质是相同的，比的化简可以将比转化为分数或除法来进行，不是一定要有“比的基本性质”，这样能适当减轻学生的记忆负担，并进一步强化学生对“比与除法”“比与分数”之间关系的理解。因此，本次教材修订时，仍没有出现“比的基本性质”，但在化简比的方法上，教材原来只呈现了“将比转化为除法”的方法，这次修订增加了“将比转化为分数”的方法，如12：42＝12/42＝2/7。
案例研讨：比的应用（第54页）略
（二）图形与几何
在空间与图形的学习中，注重在圆的特征、圆的周长和面积计算的探索中，在图形的变换过程中，在观察物体的活动中，发展空间观念。
第一单元 圆
○单元学习内容的前后联系
已学过的主要内容
第一学段
长方形、正方形、三角形、圆的初步认识
长方形、正方形的周长和面积
四年级下
平行四边形、三角形与梯形的认识
五年级上
平行四边形、三角形与梯形的面积
五年级下
长方体（正方体）的表面积和体积
本单元学习的主要内容
圆的认识
圆的周长
圆的面积
后续的相关内容
六年级下册
圆柱和圆锥的认识
圆柱的表面积和体积
圆锥的体积
学生在第一学段已经直观地认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，本单元在此基础上进一步学习圆的知识。本单元学习的内容主要有：圆的认识，圆的周长，圆的面积等。本单元主要通过六个活动引导学生展开学习：圆的认识（一）、圆的认识（二）、欣赏与设计、圆的周长、圆周率的历史、圆的面积。
○课时安排建议
本单元建议教学课时数：14课时。
北师大版小学《数学》六年级上册
教材分析及重点问题与解答
北师大版小学《数学》六年级上册教材分析
北师大版小学《数学》教材六年级上册，如何体现《课程标准》以及整套教材的基本理念和要求？在教材构思与编写上有哪些特点或创新？实施教学时应注意什么？下面将就这些问题，结合本册教材的学习内容作一些具体分析和说明。
一、本册教材的学习内容与目标
（一）数与代数
1．第二单元“百分数的应用”。学生将在这个单元的学习中，在具体情境中理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义，加深对百分数意义的理解；能利用百分数的有关知识或运用方程解决一些实际问题，提高解决实际问题的能力，感受百分数与日常生活的密切联系。
2．第四单元“比的认识”。学生将在这个单元的学习中，经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义及其与除法、分数的关系；在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变的性质和分数的基本性质化简比；能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，提高解决问题的能力，感受比在生活中的广泛应用。
（二）图形与几何
1．第一单元“圆”。学生将在这个单元的学习中，结合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆及圆的对称性，认识到同一个圆中半径、直径、半径和直径的关系，体会圆的本质特征及圆心和半径的作用，会用圆规画圆；结合具体情境，通过动手实验、拼摆操作等实践活动，探索并掌握圆的周长和面积的计算方法，体会“化曲为直”的思想；结合欣赏与绘制图案的过程，体会圆在图案设计中的应用，能用圆规设计简单的图案，感受图案的美，发展想像力和创造力；通过观察、操作、想象、图案设计等活动，发展空间观念；结合具体的情境，体验数学与日常生活密切相关，能用圆的知识来解释生活中的简单现象，解决一些简单的实际问题；结合圆周率发展历史的阅读，体会人类对数学知识的不断探索过程，感受数学文化的魅力，激发民族自豪感，形成对数学的积极情感。
2．第三单元“图形的变换”。学生将在这个单元的学习中，通过观察、操作、想象，经历一个简单图形经过平移或旋转制作复杂图形的过程，能有条理地表达图形的平移或旋转的变换过程，发展空间观念；经历运用平移、旋转或作轴对称图形进行图案设计的过程，能灵活运用平移、旋转和轴对称在方格纸上设计图案；结合欣赏和设计美丽的图案，感受图形世界的神奇。
3．第六单元“观察物体”。学生将在这个单元的学习中，能正确辨认从不同方向（正面、侧面、上面）观察到的立体图形（5个小正方体组合）的形状，并画出草图；能根据从正面、侧面、上面观察到的平面图形还原立体图形（5个正方体组合），进一步体会从三个方向观察就可以确定立体图形的形状；能根据给定的两个方向观察到的平面图形的形状，确定搭成这个立体图形所需要的正方体的数量范围；经历分别将眼睛、视线与观察的范围抽象为点、线、区域的过程，感受观察范围随观察点、观察角度的变化而改变，能利用所学的知识解释生活中的一些现象。
（三）统计与概率
第五单元“统计”。学生将在这个单元的学习中，通过投球游戏、两城市降水量等实例，认识复式条形统计图和复式折线统计图，感受复式条形统计图和折线统计图的特点；能根据需要选择复式条形统计图、复式折线统计图有效地表示数据；能读懂简单的复式统计图，根据统计结果做出简单的判断和预测，与同伴进行交流。
（四）综合与实践
本册教材安排了三个大的专题性的活动，即“数学与体育”、“生活中的数”，旨在促使学生综合运用所学的知识解决某一生活领域的实际问题。教材还安排了“看图找关系”的专题，旨在使学生体会图能直观、清晰、简捷地刻画关系。同时，还在其他具体内容的学习中，安排了某些综合运用知识解决简单的实际问题的活动。学生在从事这些活动中，将综合运用所学的知识和方法解决实际问题，感受数学在日常生活中的作用；获得一些初步的数学活动经验和方法，发展解决问题和运用数学进行思考的能力；感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；在与同伴合作和交流的过程中，发展数学学习的兴趣和自信心。
（五）整理与复习
教材安排了两个整理与复习和一个总复习。整理与复习改变单纯做题的模式，注重发展学生自我反思的意识。每个整理与复习都分成三部分：对所学内容的整理，提出数学问题并尝试解答一些练习题目。
“你学到了什么”这个栏目，目的是鼓励学生对学过的知识进行回顾与反思，能运用列表或采用其他的形式对所学的主要内容进行简单的整理。
“运用所学的知识提出相关的数学问题，并尝试解决问题”，目的是培养学生提出问题、解决问题的能力；在解决问题过程中加深对所学知识的理解；回顾在学习过程中自己的体会与进步。
二、本册教材编写的意图和特色
本册教材力求体现整套教材的基本特点，重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系；以学生的数学活动为主线呈现学习内容；创设生动有趣的情境，引导学生在解决现实问题的过程中，经历抽象数学模型并进行解释与应用的过程，从中获得对数学知识的理解和体验；注重学生的数感、空间观念、统计观念等的发展；避免程式化地叙述“算理”和死套题型地进行操练。下面具体阐述本册教材编写的意图和特色。
（一）数与代数【新世纪小学数学北师版第四版六年级上册导学案】
在数与代数中，重视运用百分数的意义解决实际问题，注重从具体实例中抽象出比的过程及对比的意义的理解。
第二单元 百分数的应用
○单元学习内容的前后联系
在五年级下学期，学生已经学习了百分数的意义和读写，百分数和分数、小数的互化，百分数的简单应用，运用方程解决简单的百分数问题，本单元在此基础上进一步学习百分数的应用。本单元学习的主要内容有：百分数的进一步应用、运用百分数的意义和用方程解决简单的百分数问题，利用百分数解决与利息有关的问题。
○课时安排建议
本单元建议教学课时数：11课时。
○本单元的编写意图和教学建议
1、注重百分数在实际生活中的应用
在“百分数应用（一）和百分数应用（二）”的内容中，教材原来选用了“杂交水稻”的材料作为情境的背景信息，希望通过这样的学习材料让学生了解现代农业科技方面的知识，了解中国著名农学家袁隆平院士，但从多个实验区教师使用的情况看，由于情境中“普通水稻”、“杂交水稻”等专业名词较多，语言表述比较麻烦，不利于学生的理解和数学交流，甚至干扰了学生的数学思维，如有老师提出“采用杂交水稻的情境，背景过于抽象，离学生生活太远，学生理解起来困难重重，不能很好地为百分数应用做铺垫，也降低了学生学习的兴趣”等。因此，本次修改时调整了这两个情境。
百分数应用（一）采用了“水结冰”作为背景材料，引出“增加百分之几”的实际问题。教材
呈现了“一个小朋友用水冻冰块时发现体积变了”的实际情境，引出“水结成冰，体积会增加”的知识背景。再呈现一个具体的问题，引出“增加百分之几”的实际问题，引导学生分析数量关系，用百分数知识解决实际问题，进一步体会百分数的意义。
百分数应用（二）采用了“火车提速”的生活实际情境，引出“比一个数增加百分之几”的实际问题，引导学生分析数量关系，用百分数知识解决实际问题，进一步体会百分数的意义。同时，把原来的“杂交水稻”的情境作了适当简化，设计成一组练习，引导学生综合运用百分数知识解决问题，进一步巩固知识，并了解有关现代农业科技方面知识和著名农学家袁隆平院士的基本情况。
2、鼓励学生根据问题中的数量关系以及百分数的意义解决问题
解决问题的培养是数学课程的重要目标之一。而学生解决问题能力的提高需要有序和有效的帮助，特别是到了中高年级，应用问题的选取题材视野逐步拓宽、信息的数量逐步增多、数量关系相对越来越复杂，就更需要为学生提供一些方法和策略作解决问题的有效支撑。因此，教材在“百分数应用”的几个内容中，都增加了引导学生用“图式表征”等方式表征问题、引导学生表述解题思路、鼓励学生用不同的方法与策略解决问题等，帮助学生“表征问题”、分析数量关系，提高解决问题能力。
如在“水结冰”的情境中，教材先引导学生画线段图理解“增加百分之几”，知道“增加百分之几”就是冰的体积比水增加的部分是水的体积的百分之几，并在此基础上引导学生分析数量关系和表述自己的解题思路，确定解决问题的方法，用百分数知识解决实际问题，进一步体会百分数的意义。解决问题时，主要是引导学生根据实际问题中的数量关系和“比原来快了40％”的意义解决问题，而不是依靠记忆题型和套用方法来解决问题，并鼓励学生用不同的解决问题的方法。
如“火车提速”的问题，学生可以有不同的解决问题的思路：
第一种，80×40％＝32（千米），80＋32＝112（千米），这是先求出火车现在比原来每时多行驶了多少千米；
第二种，80×（1＋40％），这是先求出火车现在的速度是原来的百分之几。
对于这两种方法，原来的教材呈现的都是分步列式，这次调整为一种方法呈现分步列式，另一种方法呈现综合算式。这样，具体解决问题时，学生既可以列综合算式，也可以用分步列式，综合思维能力强的学生以列综合算式为主，而综合思维能力较弱的学生可以以分步列式为主。在“百分数应用”中，又增加了计算保险费的内容等。(方法指导的补充)
3、运用方程解决简单的百分数问题
在解决实际问题的学习中，本套教材非常注重使学生理解问题中蕴涵的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的理解。因为，解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识别存在于日常生活、自然现象与其他学科等中蕴涵的数量关系，并把它们提炼出来，运用所学的知识对其进行分析，然后综合应用所学的知识和技能加以解决。因此，在解决具体问题时，教材总是鼓励学生思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系。例如，在“增加百分之几”的内容中，教材通过笑笑提出“增产百分之几”是什么意思，引导学生分析数量关系，再一次体会百分数的意义。需要注意的是，在本单元教学中，教师要鼓励学生根据实际问题中的数量关系和百分数的意义解决问题，而不是依靠记忆题型和套用方法来解决问题。
4、解决与“利息”有关的问题。注意两个变化：由“问题情境”向“问题模型”的变化，由“问题情境”向“运算意义”的变化。在变化的过程中反思“积累原型和典型问题”；反思“解决问题的过程及策略，积累数学经验，提出新的问题”。
第四单元 比的认识
○单元学习内容的前后联系
这部分内容是在学生已经学过分数的意义以及分数与除法的关系的基础上学习的。本单元学习的主要内容有：比的意义、比的化简、比的应用。本单元主要通过三个活动引导学生展开学习：生活中的比、比的化简、比的应用。
本单元建议教学课时是：10课时
○本单元的编写意图和教学建议
1、提供多种情境，使学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程
比是数学中的一个重要概念，但小学生理解比的意义往往比较困难，于是教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了多个情境，为学生理解比的意义提供了丰富的直观背景和具体案例，引发学生的讨论和思考，并在此基础上抽象出比的概念，使学生感受到需要刻画两个量之间的关系，体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛存在。
教材原来创设了三个情境，丰富的情境有利于学生理解比的概念。让学生经历从具体情境中抽象出比的过程。
教材首先赋予“数形结合”一定的实际背景，创设了观察照片、图形分类研究的探索活动（如图），激发学生学习兴趣，体会引入比的必要性；同时，减少了学生根据指令性要求的操作，以引导学生观察研究长方形长与宽的关系为主，经历观察、发现、验证的探索过程。教材呈现了五张有趣的淘气的照片（其中两张长与宽的比与照片A是相同的，另外两张是不同的），引导学生观察四张照片，与照片A进行比较哪几张比较像，并用“像”、“不像、“变形了”等自己的语言叙述，使学生对长与宽的关系产生直观感受，并激发探索知识的兴趣。在学生直观观察的基础上，再组织学生开展探索活动。教材将五张照片的形状画在方格纸上，引导学生探索这些长方形长与宽之间的关系，发现长方形长与宽之间的倍数关系，通过“数形结合”使学生对比形成深刻的体验。同时，借助图形分类使学生体会引入比的必要性，当把图形A，B，D分成一类时，不仅要考虑它们的长或宽，而是考虑了长和宽之间的倍数关系，它们的长都是宽的1.5倍，宽是长的2/3，所以把它们归为一类。在学生研究得出长、宽关系的基础上，再引导每一个学生画一个具有这样的关系的长方形，进一步丰富例证，加深直观体验。在这样三个情境引出比的概念的基础上，教材在“说一说”、“练一练”等内容中又增加了“男女生人数的比”、“头长与身高的比”、“正方形周长与边长的比”、“斜坡中的比”等丰富的情境，让学生写出比并解释比的意义，促进对比的概念的进一步理解。
2、注重引导学生利用比的意义解决实际问题
比在生活中有着广泛的应用，教材不仅仅在引入比时为学生提供了丰富的现实情境，还鼓励学生寻找生活中的“比”，设计实践活动使学生认识到身高与影长的比，设计“你知道吗”使学生认识到比的知识与日常生活的密切联系。
3、结合具体情境，体会化简比的必要性，并会正确化简比。
教材还特别安排了解决按照一定的比进行分配的实际问题，但教材中没有给出这个名称。目的有二：
第一，由于按比例分配问题有一定的解题方法，教材担心引入这个名称后，在教学时又把这一问题归成一个类型，会很快引入解这个类型问题的方法，学生也会把解决问题变成套用方法。而学生通过对比的意义的理解，完全可以自己探索出解决问题的方法。所以，教材鼓励学生根据比的意义解决这一问题。
第二，如果引入“按比例分配”的名称，学生可能会询问什么是比例，于是又要引入比例的概念。这样一来，在学生刚刚接触比的学习，就引入了比、比例、比值等概念，将会使学生将大量精力放在区分这几个概念上，而忽略了对比的意义的理解。因此，教材没有引入“按比例分配”的名称，而把这节课定位于比的应用。
这类问题在生活中有着广泛应用。教材鼓励学生根据比的意义解决这一类问题。在此基础上，教材又安排了生活中不同方面的例子，鼓励学生运用合理的策略解决实际问题。【新世纪小学数学北师版第四版六年级上册导学案】
比的化简的内容，在实际教学中，部分教师提出是否应该增加“比的基本性质”的内容。
编写组讨论后认为：“比的基本性质”与分数的基本性质和除法的商不变规律的实质是相同的，比的化简可以将比转化为分数或除法来进行，不是一定要有“比的基本性质”，这样能适当减轻学生的记忆负担，并进一步强化学生对“比与除法”“比与分数”之间关系的理解。因此，本次教材修订时，仍没有出现“比的基本性质”，但在化简比的方法上，教材原来只呈现了“将比转化为除法”的方法，这次修订增加了“将比转化为分数”的方法，如12：42＝12/42＝2/7。
案例研讨：比的应用（第54页）略
（二）图形与几何
在空间与图形的学习中，注重在圆的特征、圆的周长和面积计算的探索中，在图形的变换过程中，在观察物体的活动中，发展空间观念。
第一单元 圆
○单元学习内容的前后联系
已学过的主要内容
第一学段
长方形、正方形、三角形、圆的初步认识
长方形、正方形的周长和面积
四年级下
平行四边形、三角形与梯形的认识
五年级上
平行四边形、三角形与梯形的面积
五年级下
长方体（正方体）的表面积和体积
本单元学习的主要内容
圆的认识
圆的周长
圆的面积
后续的相关内容
六年级下册
圆柱和圆锥的认识
圆柱的表面积和体积
圆锥的体积
学生在第一学段已经直观地认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，本单元在此基础上进一步学习圆的知识。本单元学习的内容主要有：圆的认识，圆的周长，圆的面积等。本单元主要通过六个活动引导学生展开学习：圆的认识（一）、圆的认识（二）、欣赏与设计、圆的周长、圆周率的历史、圆的面积。
本单元建议教学课时数：14课时。
○本单元的编写意图和教学建议
1、结合具体情境和数学活动，引导学生感悟和理解圆的特征。
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