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小学奥数方阵问题专题训练
姓名：1.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形的方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？
2.棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
3.设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
4.在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？
5.有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？
6.学校举行团体操表演，四年一班的少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人？
7.用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒？
8.将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？
9.学生若干人，排成五层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？
10.某校学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
11.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
小学奥数方阵问题专题训练（答案）
1.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形的方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？
（7+4+1）÷2=6（人）， 6×6-4=32（人）
答：共抽出学生32人
2.棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
8×8=64（粒） （8-1）×4=28（粒）
答：棋子总数64粒，最外层28粒。
3.设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
解：设最外层的每边人数是x人，则：
（x-6）×6×4=360，
x=21 答：最外层每边人数是21人
4.在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？
[30×5-2-4-6-8-5]×4+20=520（人）
答：这个方块队共有520名同学组成。
5.有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？
32÷4=8（人） 56÷4=14（人） （10+12）×4=88（人） 56+32+88=176（人） 答：这一对学生共有176人。
6.学校举行团体操表演，四年一班的少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人？
(10×4-2-4-6-4)×4=96（人）
答：参加团体操表演的少先队员共有96人。
7.用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒？ 解：设最外边应放X粒
3×4X-8-16-12=24×24
答：它的最外层每边应改放51粒。 X=51
8.将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？
答：棋子总数为144个。
9.学生若干人，排成五层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？ （5×12-2-4-6-8-5）×4=140（名）
答：有140名学生。
10.某校学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
（96÷4+1）×（96÷4+1）=625（名）
答：这个学校有学生625名
11.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
（15-5）×4=40（个） 3×40+3×8=144（个）
答：这个方阵最里层一周共有40个棋子，三层空心方阵共用144个棋子。
教学内容:第十一讲方阵问题
在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵。 观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:
①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。
②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。
③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。
④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:
中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
下面我们就利用以上特点进
例1 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?
分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:
(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。
(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示。
因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。
本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)
或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)
还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人)
或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)
答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。 例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?
分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子。
最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是6×4-4=20枚。 说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。
例3 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人?
分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢?不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为
100÷4+1=26人。因此方阵中一共有26×26=676人。 答:一共有676人。
说明:这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”一样,还必须要加上1。 例4 若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人?
分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。
又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷2=11人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试。
答:原有学生112人。
前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。
例5 游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围
的少先队员共有多少人?
分析与解答1:请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现,有如下特点:
(1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;
(2)每相邻两层之间,点的总数相差8个。
最外层队员的总数:12×4-4=44(人)
三层共有队员的总数:44+(44-8)+(44-8×2)
=44+36+28=108(人)
分析与解答2:如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数:
(12-3)×3=9×3=27(人)
三层共有队员数:27×4=108(人)
答:彩车周围的少先队员共有108人。
这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下。
例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问:最外边一层每边有多少枚棋子?
分析与解答1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点,可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个)
最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个)
分析与解答2:如例5的图,把棋子分成相等的四部分。
奥赛天天练》第27讲《方阵问题》。方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。 方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。其基本特点是：不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同；每向里一层,每条边上的 人(或物)就少2，每一层的人(或物)的总数就少8。
方阵问题中常见的数量关系有（以队形为例）：
一、每层总人数=[每边人数-1]×4
或：每层总人数=每边人数×4-4
二、每边人数=每层总人数÷4+1
三、实心方阵的总人数=每边人数×每边人数
四、空心方阵的总人数=（最外层每边人数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
或：空心方阵的总人数=最外层每边人数×最外层每边人数-（最里层每边人数-2）×（最里层每边人数-2） 可以通过点子图帮助孩子理解方阵的特点及方阵问题中的四个数量关系。其中第一、四两个数量关系是难点，可以利用下面的图形帮助孩子理解第一、四两个数量关系，在此基础上理解第二个数量关系：
第一个空心方阵的总点数：（11-3）×3×4=96（点）；
第二个实心方阵外层点数：（9-1）×4=32（点）。
《奥赛天天练》第27讲，巩固训练，习题1
【题目】：
有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数都相等，问每边站几个学生？
【解析】：
我们把16人围成的方形，看作一个方阵的最外层。
由公式：每边人数=每层总人数÷4+1，可得每边人数为：
16÷4+1=5（人）。
注：按公式解题结束后，最好让孩子画画点子图，验证一下，进一步巩固认识。
《奥赛天天练》第27讲，巩固训练，习题2
【题目】：
国庆节前夕，在街中心一塑像的周围，用204盆鲜花围成一个每边三成的方阵。求外面一层每边有鲜花多少盆？
【解析】：
因为：空心方阵的总花盆数=（最外层每边花盆数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
这里的204盆鲜花也就是总盆数，现在由总盆数求外面一层每边花盆数，可以参考前面的空心方阵图（“《奥赛天天练》第27讲，巩固训练，习题1”上面的空心方阵图）由上面的公式倒推出答案。
先把总数平均分成4份，求图中四种颜色方块中，每种颜色方块里的鲜花有多少盆：204÷4=51（盆）； 再除以3层，求图中每种颜色方块里，每一行有鲜花多少盆：51÷3=17（盆）；
最后补加图中同一行另一种颜色的鲜花3盆，求外面一层每边有鲜花多少盆：17+3=20（盆）。
《奥赛天天练》第27讲，拓展提高，习题1
【题目】：
同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？
【解析】：
我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵。女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和。
先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：
108÷4÷3+3=12（人）
因为每向里一层,每条边上的 人数就少2，所以：
一、里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）；【奥数专题：方阵问题讲义】【奥数专题：方阵问题讲义】
二、外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）； 女同学总人数为:112+36=148(人)。
《奥赛天天练》第27讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一队战士排成三层空心方阵多出9人，如果在空心部分在增加一层，又差7人，问这队战士共有多少人？
【解析】：
由题意可得空心方阵再往里一层的总人数是：9+7=16（人），每边人数为：16÷4+1=5（人）；
所以3层空心方阵最外层每边人数为：5+2×3=11（人），总人数为：（11-3）×3×4=96（人）； 这队战士的总人数是：96+9=105（人）。
注：本讲拓展提高的两道习题难度偏大，如果孩子接受有困难，可以忽略不做，等到高年级接触到同种类型习题时，再重新学习。
小学三年级奥数题:三年级奥数知识要点系列之方阵问题
同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:
(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)
答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每
边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)
答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?
分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。
(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2
层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树:7×7-25=24(棵)
(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)
杨树7×7-25=24(棵)
答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。
四年级奥数之方阵问题
知识概要
方阵可以分为实心方阵和空心方阵。计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；
（每边数—1）×4=每层数； 每层数÷4+1=每边数
空心方阵中物体的个数=（最外层一边的个数—层数）×层数×4
1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？
2、有围棋子若干，恰好可以排成每边10个的正方形，棋子总数多少个？
3、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？
4、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？
5、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？
6、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？
7、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？
8、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？
9、同学们在军训时，进行队列表演，由于场地有限，在原来的正方形队列中，横竖各减少一排，一共去掉了21名同学原来参加队列表演的有多少人？
10、运动会上，在正方形操场的四周都插上彩旗，四个角上都插一个，每边插12个，那么一共插多少个？
11、四年级同学排成了一个每边10人的中空方阵，共2层，求这个方阵总人数？
12、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？
13、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。这个队列共有多少人？
14、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？
15、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。女生有72人参加表演，男生有多少人？
作业：
1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？
2、运动会上，在正方形操场四周站着执旗的同学28人，如四个角上都站一名同学，求这个操场每边站台多少个学生？
3、64人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
4、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？
1.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆？
2.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？
3.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
4.有一中空方阵，小明计算总人数为146人，问小明算的对吗？为什么？
5.有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？
6.最外层每边16人的中空方阵，共5层，求总人数及最内层的人数。
7.一张桌子四周可以坐4人，两张桌子并排起来可以坐6人，三张桌子可以坐8人，„„，问20张桌子并起来可以坐多少人？如果有78人要坐下，须多少张桌子并起来？
8.用若干棋子摆成中实方阵，再把这个中实方阵拆开，用这些棋子摆成一个只有一层的中空方阵，求棋子有多少个？
9.仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。求原乙方阵每边的人数（指最外层一边人数）。
10.原排成方阵的若干同学，改排成每边4行的中空方阵，改编后最外面一行的人数比原来方阵每边人数多16人，求学生人数。
11.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
12.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆？
13.一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？【奥数专题：方阵问题讲义】
14.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
15.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？
16.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？
例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)
答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)
答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?
分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。
(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树:7×7-25=24(棵)
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