2012年7月线性代数答案

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2012年7月线性代数答案篇一：全国2012年1,4,7月自考线性代数(经管类)试题及答案详解

全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，

表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

T

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11

1．设行列式a21

a31

a12a22a32

a133a11a23=2，则a31a33a21a31

3a12

a32a22a32

3a13

a33=（ ） a23a33

A．-6 C．3

B．-3 D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A-1 C．E+A

B．E-A D．E-A-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）

A

A．可逆，且其逆为-1

BBA

C．可逆，且其逆为-1

BA

A-1

 B-1 

B．



A



不可逆 B



-1B

A-1A

D．可逆，且其逆为

B

4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是

（ ）

A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=（ ） A．（0，-2，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

B．（-2，0，-1，1）T D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ） A．1 C．3

B．2 D．4

7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A．+是Ax=0的解 C．-是Ax=b的解

B．+是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

11

8．设三阶方阵A的特征值分别为,,3，则A-1的特征值为（ ）

241

A．2,4,

3

111B．,,

243

11C．,,3

24

1

D．2,4,3

9．设矩阵A=21

，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）

11A．12

3

01B．10

2

21

11

C． D．2

1

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．

122

3，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 12．设3阶矩阵A=4t

311

B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________． 14．实向量空间Rn的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则

A(32)=__________．

18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

226x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________． 20．二次型f(x1,x2,x3)x125x2

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

111114

21．计算行列式

246124

2

21． 12

22．设矩阵A=35

，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．

23．设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关

组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

143

24．设三阶矩阵A=253，求矩阵A的特征值和特征向量．

242

25．求下列齐次线性方程组的通解．

x1x35x40

2x1x23x40

xxx2x0

2341

22

30

26．求矩阵A=

0311420611

的秩．

001210

四、证明题（本大题共1小题，6分）

a11

27．设三阶矩阵A=a21

a31

a12a22a32

a13

a23的行列式不等于0，证明： a33

a13a11a12



1a21,2a22,3a23线性无关．

aaa313233

2012年7月线性代数答案篇二：2012年7月线性代数(经管类)试题及答案

全国2012年7月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码:04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设A为三阶矩阵，且A13，则 3A ( )

A.-9 B.-1 C.1 D.9

2.设Aa1,a2,a3,其中 ai(i1,2,3) 是三维列向量，若A1，则4a1,2a13a2,3 ( )

A.-24 B.-12 C.12 D.24

3.设A、B均为方阵，则下列结论中正确的是（ ）

A.若AB=0，则A=0或B=0 B. 若AB=0，则A=0或B=0

C．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB≠0，则A≠0或B≠0

4. 设A、B为n阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ）

A1B1 B. (AB)1A1B1

11C．(AB)D.(AB)1A1B1

ABA. (AB)

5. 设A为m×n矩阵，且m＜n，则齐次方程AX=0必 （ ）

A.无解 B.只有唯一解

C．有无穷解 D.不能确定

1

116. 设A002311 则r(A)= 2103

A.１ B.２ C.3 D.４

7. 若A为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）

A.A B.２A C．A² D. A

8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为1T令1、2、3，P＝3,1,22 则P1AP=（ ）

200A.010B.000 200000000C．010D.001 004 200000002

9.设A、B为同阶方阵，且r(A)r(B),则（ ）

A.A与B等阶 B. A与B合同 C．AB D. A与B相似

10.设二次型f(x1,x2,x3)x122x222x1x2x32则f是（ ）

A.负定 B.正定 C．半正定 D.不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.设A、B为三阶方阵，A=4，B=5， 则2AB=

12.设A121120TAB , ，则B310 101

120113.设A010 则A = 002

22114.若A124 且r(A)2,则t= 14t

11215.设a10,a22,a32 则由 a1,a2,a3生成的线性空间L(a1,a2,a3) 的110

维数是

16. 设A为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则A1E1117.设a1,2,且a与正交，则t= 1t

18.方程x1x2x31的通解是19.二次型f(x1,x2,x3,x4)x1x2x2x3x3x45x42所对应的对称矩阵是20.

若A00100是正交矩阵，则x= x

三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）

11 21.计算行列式12112121 211111

01011 22.设A＝111 B＝20 ,且X满足X=AX+B,求X 10153

x1x25 23.求线性方程组的2x1x2x32x41的通解.，

5x3x2x2x32341

24.求向量组 a1(2,4,2),a2(1,1,0),a3(2,3,1),a4(3,5,2)的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。

111

25. 设A2

321

563t 已知r(A)2,求,t的值



20

26.已知A3

260 ，求可逆阵P,使P1AP为对角阵。 003

四、证明题 （本大题共1小题，6分）

27．设a1,a2,a3,是a四维向量，且线性无1a1a,22a,2a3a3,a3 线性相关。aa 关，证明

2012年7月线性代数答案篇三：全国2012年7月自考线性代数(经管类)答案

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全国2012年7月自考线性代数（经管类）试题答案

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2012年7月线性代数答案篇四：全国线性代数(经管类)2012年7月高等教育自学考试试题与答案

全国

2012年7月自考线性代数（经管类）试题和参考答案

2012年7月线性代数答案篇五：2012年7月线性代数考前练习题及答案(试卷 答案)

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题

线性代数试题

（课程代码：02198）

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，aT表示向量a的转置，E表示单位矩阵，

det(A)表示方阵A的行列式A表示矩阵A的逆矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，

-1

*

A表示方阵A的行列式，R(A)表示矩阵A的秩,a表示a的长度。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 对任意n阶方阵A、B总有( )

A. ABBA B. AB C. (AB)TATBT D. (AB)2A2B2 2. 设矩阵

13

A. 0

0

100



020A=，则003

A-1等于（ ）

1B. 0

0

0013

0120

001

120

1

003 C.  010100

2

1

2D. 0

000

10301



3. 设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（ ） ．．

A. A1也是正交矩阵 B. A*也是正交矩阵 C. AB也是正交矩阵 D. AB也是正交矩阵

4. 设n阶方阵A满足A20，则必有（ ）

A. AE不可逆 B. AE可逆 C. A可逆 D. A0 5. 设有m维向量组(I)：a1,a2,,an，则 ( ) A. 当mn时，(I)一定线性相关 B. 当mn时，(I)一定线性相关 C. 当mn时，(I)一定线性无关 D. 当mn时，(I)一定线性无关

6. 若向量组（Ⅰ）：1,2,,r可由向量组（Ⅱ）：1,2,,s线性表示，则必有（ ）A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C. r≤s D. r>s

7. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC. 则（ ） A. A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

8. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的

是( )

A. Ax2x B. A1x

1

x 2

C. A1x2x D. A2x4x 9. 设A是n阶正定矩阵，则二次型xT(-A)x（ ）

A. 是不定的 B. 当n为奇数时是正定的

C. 当n为偶数时是正定的 D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. 

23

34

B. 

34

26

100



C. 023

035

111



D. 120

102

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11. 已知A，B为n阶矩阵，A=2，B=－3，则ATB1=_________________. 12. 设A为2阶方阵,且|A|=1,则|2A*|=___________.

2

13. 设2阶方阵A[1,]，B[2,]，其中1，2，均为2维列向量，且

AB1，则AB___________。

14. 设(2,1,2))，(1,2,3)，则23________。

15. 设mn矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵AT的秩为________。 16. 设11,2,2,1T，21,1,5,3T，则1与2的内积 （1,2）＝________________.

x12x3t

17. 方程组x2x30 有解的充分必要条件是

x2x1

21

t=_____________.

001

，则A的全部特征值为_______. 01018. 设矩阵A

100

19. 设n阶矩阵A的n个列向量两两正交且均为单位向量,则ATA=_____________. 20. 设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21

21. 计算行列式D

00121001210012

.

101

，矩阵X满足方程AXEA2X求矩阵X. 02022. 设A

101

23. 设矩阵

121



242A=

210

333266

. 23

34

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

x1x2x3x40,24. 给定齐次线性方程组x1x2x3x40,

xxxx0.

2341

（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？ （2）当λ＝1时，求方程组的通解. 25. 设矩阵

022



A=234



432

的全部特征值为1,1和-8. 求正交矩阵T和对角矩阵D，

使T-1AT=D.

22

26. 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x15x22cx32x1x26x1x36x2x3的秩为2,求参数c

及二次型经正交变换化成的标准形(不必写出正交变换). 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27. 设矩阵A可逆，证明(A*)1A1A

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题

线性代数试题答案

（课程代码：02198）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1. B 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. D 10. C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.  12. 2 13. 4 14. (1,4,13) 15. m 16. -10 17. 1 18. 1，1，-l

22219. E 20. z1z22z3z4

2

3

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

12

21. 解：D

00

21101021

0121003210122001

3203240

121123 1

0120102



34

5 13

22. 解：(AE)XA2E,

001

可逆（因det(A)10）, AE010

100

201

。 030所以，X(AE)1(A2E)(AE)1(AE)(AE)AE

102

23. 解:对矩阵A施行初等行变换

2012年7月线性代数答案篇六：2012年7月线性代数(经管类)考前练习题及答案(试卷+答案)

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题

线性代数（经管类）试题

（课程代码：04184）

1. 设A为3阶方阵，且-1 A. -9 C. -1

3A

13

,则A



（ ） B. -3 D. 9

2. 设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ ） A. 

00

0

 01 0

B. 

100

 011

1

C. 0

1D. 0



3. 设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（ ） ．．

A. A1也是正交矩阵 B. A*也是正交矩阵 C. AB也是正交矩阵 D. AB也是正交矩阵 4. 设n阶方阵A满足A2

0

，则必有（ ）

A. AE不可逆 B. AE可逆 C. A可逆 D. A0 5. 设有m维向量组(I)：a1,a2,,an，则( ) A. 当mn时，(I)一定线性相关 B. 当mn时，(I)一定线性相关 C. 当mn时，(I)一定线性无关 D. 当mn时，(I)一定线性无关

1,2,,s线性表示，6. 若向量组（Ⅰ）：1,2,,r可由向量组（Ⅱ）：则必有（ ）

A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C. r≤s D. r>s

7. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC. 则（ ） A. A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

8. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的

是( )

A. Ax

2x

B. A

1

x

12

x

C. A1x2x D. A2x4x 9. 设A是n阶正定矩阵，则二次型xT(-A)x（ ）

A. 是不定的 B. 当n为奇数时是正定的 C. 当n为偶数时是正定的 D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. 

23

3

4023

B. 

035

3246120

102

C.

100

D.

111

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

a231

1

00，则数a1

，B33

11. 已知行列式2

1

__________.

•2T

，则AB__________. •7

•2

12. 设矩阵A1



•0

1

•1•4

5

13. 设2阶方阵A[1,]，B[2,]，其中1，2，均为2维列向量，且

AB1，则AB___________。

14. 设(2,1,2))，(1,2,3)，则23________。

15. 设mn矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵AT的秩为________。 16. 设（

1

1

1,2,2,1

T

，

2

1,1,5,3

T

，则

1

与2的内积

,2）＝________________.

x12x3t



x2x30x2x1

21

17. 方程组有解的充分必要条件是t=_____________.

1



0，则A0

0

018. 设矩阵A1

010

的全部特征值为_______.

19. 设n阶矩阵A的n个列向量两两正交且均为单位向量,则ATA=_____________. 20. 设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2

1210

0121

0012

100

21. 计算行列式D

.

1022. 设A1

020

1



0，矩阵X1

满足方程AX

EAX

2

求矩阵X.

1223

2413

1203

0623

2634

23. 设矩阵A=.

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。 24. 给定齐次线性方程组

x1x2x3x40,



x1x2x3x40,xxxx0.

2341

（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？ （2）当λ＝1时，求方程组的通解. 25. 设矩阵A=

0

22

234

243

的全部特征值为1,1和-8. 求正交矩阵T和对角矩阵D，

使T-1AT=D.

26. 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12

5x2cx

2

23

2x1x26x1x36x2x3

的秩为2,求参数c

及二次型经正交变换化成的标准形(不必写出正交变换). 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27. 设矩阵A可逆，证明(A*)1

A

1

A

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题

线性代数（经管类）试题答案

（课程代码：04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1. B 2. D 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. D 10. C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

3

11. 3 12. 3

9

3511

3



7 13. 4 14. (1,4,13) 15. m19

16. -10 17. 1

2222

18. 1，1，-l 19. E 20. z1z2z3z4

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1

2110

43

1021

0012

1000

2310

1221

0012

21. 解：D



200

31

221

03221

430

112



31

5

22. 解：(AE)X

0



AE0

1

010

AE

2

,

1



0可逆（因det(A)10）, 0

030

1

02

2

0所以，X(AE)1(A2E)(AE)1(AE)(AE)AE1

。

23. 解:对矩阵A施行初等行变换

A

1

0

00

20392300

10261200

068308621

2222

2300

1200

0830

2310

10

002130



02

70

=B.

（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

2012年7月线性代数答案篇七：2007年7月至2012年1月全国高等教育自学考试线性代数经管类试题及答案04183

全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11

1．设A为3阶方阵，且A，则|A|（ ）

33

A．-9 B．-3 C．-1 2．设A、B为n阶方阵，满足A2B2，则必有（ ） A．AB

B．AB

C．|A||B|

D．|A|2|B|2

D．9

1110

3．已知矩阵A=，B=0111，则ABBA（ ）

011110A． B． C． 210101



00

D．00



4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ ）

00

A．00



10

B．00



11

C．00



11

D．01



5．设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2)，1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是（ ）

A．若1,2线性相关，则必有1,2线性相关 B．若1,2线性无关，则必有1,2线性无关 C．若1,2线性相关，则必有1,2线性无关 D．若1,2线性无关，则必有1,2线性相关

12



6．已知2,3是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ ）

11

A．(5,3,1)

531B．211

123

C．217



121

D．122

531

7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3（n>3），,,是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ） A．,,

B．,,

C．,,

D．,,

100



8．已知矩阵A与对角矩阵D=010相似，则A2（ ）

001

A．A B．D C．E D．E

001

9．设矩阵A=010，则A的特征值为（ ）

100

A．1，1，0 B．-1，1，1 C．1，1，1

10．设A为n（n2）阶矩阵，且A2E，则必有（ ） A．A的行列式等于1 C．A的秩等于n

D．1，-1，-1

B．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a21

11．已知行列式2300，则数a =__ __．

111

x12x20

12．设方程组有非零解，则数k = __ __．

2xkx021

201042T

13．设矩阵A=，B=113357，则AB．

102

011

14．已知向量组1,2,3的秩为2，则数t．

05t22041

15．设向量(2,1,,1)，则的长度为__．

2

2(4,5,6)，3(3,3,3)与向量组1,2,3等价，16．设向量组1(1,2,3)，则向量组1,2,3

的秩为__ __．

17．已知3阶矩阵A的3个特征值为1,2,3，则|A|__．

18．设3阶实对称矩阵A的特征值为123,30，则r(A．

412



19．矩阵A=221对应的二次型f = ．

41320T

20．设矩阵A=01，则二次型xAx的规范形是 ．



三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

142031

22．已知A=，B=，C=121101，矩阵X满足AXB=C，求解X．



23．求向量(3,1,2)T在基1(1,1,2)T，2(1,3,1)T，3(1,1,1)T下的坐标，并将用此基线性表示．

24．设向量组1,2,3线性无关，令113，22223，3215233，试确定向量组1,2,3的线性相关性．

x1x2x32

25．已知线性方程组x1x2x32，

xxx3

231

（1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．

（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．

111



26．已知矩阵A=111，求正交矩阵P和对角矩阵，使P1AP．

111

四、证明题（本题6分）

27．设为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，1,2,,r是其导出组Ax=0的一个基础解系．证明,1,2,,r线性无关．

全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11

1．设A为3阶方阵，且A，则|A|（ A ）

33

A．-9 B．-3 C．-1

D．9

2．设A、B为n阶方阵，满足AB，则必有（ D ） A．AB

B．AB

C．|A||B|

D．|A|2|B|2

1110

3．已知矩阵A=，B=0111，则ABBA（ A ）

011110A． B． C． 210101



00

D．00



00A．00



10

B．00



11

C．00



11

D．01



5．设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2)，1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是（ B ）

A．若1,2线性相关，则必有1,2线性相关 B．若1,2线性无关，则必有1,2线性无关 C．若1,2线性相关，则必有1,2线性无关 D．若1,2线性无关，则必有1,2线性相关

12



6．已知2,3是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ A ）

11

A．(5,3,1)

531B．211

123

C．217



121

D．122

531

2012年7月线性代数答案篇八：2010年7月全国自考线性代数(经管类)试题及答案详解

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵；A表示矩阵A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；|A|表示方阵A的行列式；E表示单位矩阵。

一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设3阶方阵A={α1,α2,α3}，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，若|B|=|(α1+2α2,α2,α3)|=6，

则|A|=（

）

T

*

B．−6 C．6 D．12 A．−12

解答：选C。参考P14性质5、P12性质2、P13性质3的推论。因为

|B|=|(α1+2α2,α2,α3)|=|(α1,α2,α3)|+|(2α2,α2,α3)|=|(α1,α2,α3)|+2|(α2,α2,α3)|=|A|+0=6

，从而|A|=6。

30−22105

2. 计算行列式

00−2−23−200

=（ 03

）

A．−180 B．−120 C．120 解答：选A。参考P9定理1.2.1和P3二阶行列式计算公式 。

D

．180

3. 若A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=（ A．

−1

）

D．8

1 2

B．2

C．4

）

4. 设α1,α2,α3,α4都是3维向量，则必有（ A． α1,α2,α3,α4线性无关

B．α1,α2,α3,α4线性相关 D．α1不可由α2,α3,α4线性表示

C．α1可由α2,α3,α4线性表示

解答：选B。参考P101向量组的线性相关性和线性无关性的结论。如果向量个数大于向量维数时，此向量组必是线性相关组。

5. 若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

解答：选C。参考P112定理4.1.1。因为A为6阶方阵，即n=6，又n−r(A)=2，从而r(A)=4。 6. 设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则（ A．A与B相似

B．|A|=|B|

）

D．A与B合同

C．A与B等价

解答：选C。参考P165、166等价、相似和合同的联系和区别。因为相似必等价、合同必等价，但反之不然，同时等价必有相同的秩，相似必有相同的特征值和行列式。 7. 设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则|A+2E|=（

）

A．0 B．2 C．3 D．24

解答：选D。参考P143重要结论、P138定理5.2.1及其推论、P7例7结论。因为A具有无重特征值2,1,0，所以A一定相似于对角矩阵，且该对角矩阵的对角元为A的3个特征值，即必存在可逆矩阵P，

004002002+2

又P−1(A+2E)P=P−1AP+

2E=0=030，

使得P−1AP=010。1+20

000000+20028. 设A、B相似，则下列说法错误的是（ ．．A．A与B等价

B．A与B合同

）

D．A与B有相同的特征值

C．|A|=|B|

解答：选B。参考参考P165、166等价、相似和合同的联系和区别。因为相似必等价、合同必等价，

但反之不然，同时等价必有相同的秩，相似必有相同的特征值和行列式。 9. 若向量α=(1,−2,1)与β=(2,3,t)正交，则t=（ A．−2

B．0

C．2

）

D．4

解答：选D。参考P148定义5.3.3。因为α与β正交，即(α,β)=1×2+(−2)×3+1×t=2−6+t=0，从而t=4。

10. 设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（ ） A．A正定 B．A半正定 C．A负定 D．A半负定

解答：选B。参考P172实二次型及其对应的实对称矩阵的分类和例1。因为特征值均大于等于零，所以矩阵A为半正定。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3−2

21−1

11. 设A=01，B=，则AB=______________. 

0−1024

65−3

解答：0−10。参考P39定义2.4.4。

4−2−2

3−23×2+(−2)×03×1+(−2)×(−1)3×(−1)+(−2)×065−3

21−1=0×2+1×0=0−10

AB=010×1+1×(−1)0×(−1)+1×0

240−102×2+4×02×1+4×(−1)2×(−1)+4×04−2−2

12. 设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A|=______________.

13. 三元方程x1+x2+x3=1的通解是______________.

−1

−1−11(k,k为任意实数)。参考P120例1。

解答：X=k11+k20+012

010(A,b)=(1111)，据此得到原方程组的同解方程x1=1−x2−x3 1



取x2=x3=0得到一个特解η*=0

0

原方程的导出组的同解方程组为x1=−x2−x3 分别令

x210

=和，可求得基础解系 

x301

−1−1

，ξ=0

ξ1=12

01

−1−11

*

于是求得原方程的通解η=k1ξ1+k2ξ2+η=k11+k20+0

010

14. 设α=(−1,2,2)，则与α反方向的单位向量是______________.

15. 设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______________. 解答：2。参考P112定理4.1.1。

n=5，r(A)=3，则W={x|Ax=0}中有n−r(A)=5−3=2个基向量，故维数为2。

16. 设A为3阶方阵，特征值分别为−2,,1，则|5A−1|=______________.

解答：−125。参考P138定理5.2.1及其推论、P7例7结论、P48|A|=|A|、P45行列式性质（2）。

−1

−1

1

2

17. 设A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=______________. 解答：3。参考P116矩阵的秩的估计式、P112定理4.1.1推论。 因为Ax=0只有零解，所以r(A)=5。

由矩阵的秩的估计式可知，5+3−5=r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}=3 从而r(AB)=3

2−10

18. 实对称矩阵−101所对应的二次型f(x1,x2,x3)=______________.

011

2

解答：f=2x12+x3−2x1x2+2x2x3。参考P163定义6.1.1及P164例3。

1−1



19. 设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=2，α2=2且r(A)=2，则Ax=b的通解是

33

______________.

212−1

+2或k0+2(k为任意实数)。

解答：k0参考P112定理4.1.1、P119性质1和定理4.2.3。

0303

原方程组Ax=b的导出组的基础解系有n−r(A)=3−2=1个解向量，且根据P119性质1可知该解

1−12



向量为ξ=α1−α2=2−2=0。

330

212−1(k为任意实数)

从而原方程组Ax=b的通解为k0+2或k0+2

03031



20. 设α=2，则A=ααT的非零特征值是______________.

3

解答：14。参考P133例9。

1123

因为A=ααT=2(123)=246

3369

先求出A的特征多项式

因此A的特征值为λ1=λ2=0,λ3=14。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2012年7月线性代数答案篇九：2011年7、10和2012年1月线性代数(04184)试卷与答案

全国2011年10月自学考试线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 A表示方阵T*

A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则1

2A( )

A.-1 B.1

4 C.1

4 D.1

x2x1x2

2.设f(x)2x22x12x2,则方程f(x)0的根的个数为（ ）

3x23x23x5

A.0 B.1

C.2 D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若AB,则必有（

A.A0 B. AB0 C. A0 D. AB0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）

A.(AB)2A22ABB2 B.(AB)(AB)A2B2

C.(AE)(AE)(AE)(AE) D.(AB)2A2B2

a1b1a1b2a1b3

5.设Aaa

2b12b2a

2b3ai0,bi0,i1,2,3,则矩阵A的秩为（ ）

a3b1aa,其中

3b23b3

A.0 B.1

C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ）

A.0 B.2

C.3 D.4

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ）

A.-10 B.-4

C.3 D.10

x1x2x34

8.已知线性方程组x1ax2x33无解，则数a=( )

2x12ax24 ）

A.

C.1 2B.0 D.1 1 2

9.设3阶方阵A的特征多项式为

A.-18

C.6 EA(2)(3)2,则A( ) B.-6 D.18

10.若3阶实对称矩阵A(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

304

11.设行列式D222,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

532

12.设Aaabb,B,则AB__________. aabb

10313.设A是4×3矩阵且r(A)2,B020,则r(AB)__________.

103

14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

x1x2x3016.设方程组x1x2x30有非零解，且数0,则__________.

xxx0312

17.设4元线性方程组Axb的三个解α1，α2，α3，已知

1(1,2,3,4)T,23(3,5,7,9)T,r(A)3.则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且A5A0,则A的全部特征值为__________. 2

211119.设矩阵A0a0有一个特征值2,对应的特征向量为x2,则数a=__________.

4132

20.设实二次型f(x1,x2,x3)xTAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2

21.设矩阵A(,22,33),B(,2,3),其中,,2,3均为3维列向量，且A18,B2.求AB.

11101112X1011. 22.解矩阵方程02

1104321

23.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，

Tp+2）问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组. TTT

2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32,

4x5x5x1231

（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

225.已知2阶方阵A的特征值为11及2,方阵BA. 1

3

（1）求B的特征值；

（2）求B的行列式.

22226.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x212x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性

变换.

四、证明题(本题6分)

27.设A是3阶反对称矩阵，证明A0.

3

4

5

2012年7月线性代数答案篇十：全国2012年7月高等教育自学考试线性代数试题

全国2012年7月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示

方阵A的逆矩阵，秩(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

032，则|A|=( ) 0301．设A=257

A．-12

C．12 B．0 D．21

( ) 2．设A=[1,2,3]，其中i(i1,2,3)是三维列向量，若|A|=1，则[41,2132,3]

A．-24

C．12 B．-12 D．24

3．设A、B均为方阵，则下列结论中正确的是( )

A．若|AB|=0，则A=0或B=0

C．若AB=0，则A=0或B=0 B．若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0 D．若AB≠0，则|A|≠0或|B|≠0

4．设A、B为n阶可逆阵，则下列等式成立的是( )

A．(AB)-1=A-1B-1

1C．|(AB)1| |AB|B．(A+B)-1=A-1+B-1 D．|(A+B)-1|=|A-1|+|B-1|

5．设A为m×n矩阵，且m＜n，则齐次方程AX=0必( )

A．无解

C．有无穷解

116．设A=00212031，则秩(A)=( ) 13B．只有唯一解 D．不能确定

A．1

C．3 B．2 D．4

7．若A为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是( ) ．．

A．A-1 B．2A

C．A2

令P=[ξ3，ξ1，2ξ2]，则P-1AP=( )

200A．010

000

000 010C．004D．AT 8．设三阶矩阵A有特征值0、1、2，其对应特征向量分别为ξ1、ξ2、ξ3， 200B．000 001200 000D．002

9．设A、B为同阶方阵，且秩(A)=秩(B)，则( )

A．A与B等阶

C．|A|=|B| B．A与B合同 D．A与B相似

2210．实二次型f(x1,x2,x3)x122x2则f是( ) 2x1x2x3

A．负定

C．半正定 B．正定 D．不定

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设A、B均为三阶方阵，|A|=4，|B|=5，则|2AB|=__________.

12112012．设A=，B=，则ATB=__________. 310101

002-113．设A=030，则A=__________.

400

221，且秩(A)=2，则t=__________. 12414．若A=14t

15．线性空间W={(x1,x1,x3)|x1x2x30}的维数是__________.

16．设A为三阶方阵，其特征值分别为1，2，3.则|A-1-E|=__________.

1117．设1，2，且与正交，则t=__________.

1t

18．方程x1x2x31的结构解是__________.

219．二次型f(x1,x2,x3,x4)x1x2x2x3x3x45x4所对应的对称矩阵是__________.

20．若A

=00100是正交矩阵，则x=__________. x

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1

121．计算行列式1

1111234 491682764

01011，B=20，且X满足X=AX+B，求X. 11122．设A=10153

x1x223．求线性方程组2x1x2x32x45x3x2x2x234151的结构解. 3

24．求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1),4(3,5,2)的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无

关组表示.

12x，当x取何值时A能与对角阵A相似？并求可逆阵P， 00325．已知三阶方阵A=001

使P-1AP=A.

2226．设二次型f(x1,x2,x3)2x123x23x34x2x3.

(1) f是否正定？

(2)记A为该二次型的矩阵，求A10.

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27．设A为正定矩阵，证明|A+E|>1.

本文来源：http://www.guakaob.com/xuelileikaoshi/128231.html