奥迪可峰

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奥迪可峰篇一
《高代 线性变换练习题 2-李可峰》

线性变换练习题

010322



一、（浙江大学2006）设矩阵A232，P101，BP1A*P2E，求B的特征值与



001223

特征向量.

101



二、（东南大学2002）设线性变换在线性空间V的基1,2,3下矩阵为210,

113

1、求值域V，核(0)的基。 2、问VV(0)吗？为什么？

1

1

1ab

13

c，a,b,c为实数,三、（复旦大学1998）设矩阵A0.求A100.

2002

200

四、（华东师大2007）设Aa20是复矩阵. 1、求出A的一切可能的Jordan标准形；2、给

bc1

出A可对角化的一个充要条件.

五、（苏州大学2006）设VF[x]5是数域F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间，

f(x)V，定义映射(f(x))r(x)，其中f(x)(x21)q(x)r(x)，r(x)=0或deg(r(x))2.

1、证明映射是V的一个线性变换；2、求在基{1,x,x,x,x}下的矩阵。

2

六、1、（清华大学2001）设方阵A满足AA(幂等方阵)，则存在可逆方阵P使PAP

1

2

3

4

ER

00

；0

2、（清华大学2001）设方阵A满足AE (对合方阵)，则可取可逆方阵P使PAP为何种最简形式？证明之；

3、（清华大学2001）设方阵A满足A0（幂零方阵），则可取可逆方阵P使PAP为何种最简形式？证明之。

4、（苏州大学2006）设A为4阶矩阵，且存在正整数k，使A0，又A的秩为3，分别求A与A的若当（Jordan)标准形。

七、（浙江大学2000）证明：n阶幂零指数n1的矩阵都相似（若A指数为n1）。

八、（浙江大学2006）设3阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似。 九、（复旦大学2000）设A为一个n阶方阵且A的秩等于A的秩，证明A的秩等于A的秩。

2

3

n1

21

21

k2

0而An20，称A的幂零

十、（苏州大学2006）（1）设V是有理数域Q上的线性空间，是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果5，则没有特征值。

十一、（苏州大学2006）设n阶矩阵A,B，且ABBA。证明：若A,B都相似于对角矩阵，则AB也相似于对角矩阵。 十二、（浙江大学2000）设n维线性空间V的线性变换有n个互异的特征值，线性变换与可交换的充要条件为是,,,,

2

n1

32

的线性组合，其中为恒等变换。

十四、（华东师大1998）设f(x)为数域F上多项式，且有f(x)f1(x)f2(x)，(f1(x),f2(x))1，又设V为F上维线性空间，为的一个线性变换，W为f()的核，W1为f1()的核，W2为f2()的核，证明：WW1W2.

十五、（华东师大2008）设A,B是两个特征值都是正数的n阶实矩阵，且AB，则AB。 十六（华东师大2011）设是数域F上有限维线性空间V的线性变换，W是V的不变子空间. (1) 在V上定义一个二元关系~:u~vuvW,证明：是一个等价关系；

2

2

~

(2) 设V/W

uuV是由（1）中的等价关系所确定的所有的等价类组成的集合，在此集合上

uvuv,kuku,kF,uV

定义加法和乘法运算如下：

证明：V/W按照这样定义的运算构成数域上F的线性空间（称为由确定的的商空间）. （3）证明：dimV/WdimVdimW；

（4）定义V/W上的变换:uu,uV，证明：是商空间V/W上的线性变换； （5）证明：在W上的限制变换.



，其中表示线性变换的特征多项式，而W表示

奥迪可峰篇二
《汽车散热器材料及其制造新技术》

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