有关垂直与平行的判断题

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有关垂直与平行的判断题篇一：关于垂直与平行问题的典型题例示范讲解

关于垂直与平行问题的典型题例示范讲解

山东 胡彬

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本文主要目的在于帮助同学们 重难点归纳

1平行转化线线平行线面平行

2垂直转化线线垂直线面垂直

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 例如有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转

例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证MN∥平面BCE

命题意图本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识

知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面或转化为证两个平面平行

错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键

证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行

作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ

∥ P

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE

如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC， ∴AMAH ACAB

FNAH BFAB连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC， NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，

侧面BB1C1C⊥底面ABC

(1)若D是BC的中点，求证AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，

C

1学数学 用专页 第 1 页 共 2 页 搜资源 上网站

求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质

知识依托线面垂直、面面垂直的判定与性质

错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出

技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线

(1)证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1

(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N

∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1

(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性

过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点 ∴AM=DE=CC1

121AA1，∴AM=MA1 2

学数学 用专页 第 2 页 共 2 页 搜资源 上网站

有关垂直与平行的判断题篇二：关于垂直与平行的问题

题目

高考要求

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用

它们解决一些问题

重难点归纳

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系

平行转化线线平行

线面平行线面垂直

垂直转化线线垂直

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的

例如有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直

典型题例示范讲解

例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FNMN∥平面BCE

命题意图本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识

知识依托解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一

条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)或转化为证两个平面平行

错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN

技巧与方法证法一利用线面平行的判定来证明证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行

证法一 作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE

P

证法二如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

AMAC



AHAB

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

FNBF



AHAB

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面

(1)若D是BCAD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于

M，若AM=MA1截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

1

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由

命题意图本题主要考查线面垂直、面面垂直的C

判定与性质

知识依托线面垂直、面面垂直的判定与性质

错解分析 (3)

技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线

(1)∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1

(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1

(3)结论是肯定的，充分性已由(2)

过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点 ∴AM=DE=CC1

21

12

AA1，∴AM=

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、

A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B

(1)求证AB1⊥C1D1；

(2)AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD

(1)∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，

∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1， ∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D

(2)连结D1D，

1

∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1， 由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD

(3)由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角， ∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AOAC



12

，

学生巩固练习

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )

A83

B

38

43

34

在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，

则( )

Aa不和b垂直，但可能a∥b

Ba可能和b垂直，也可能a∥b

C a不和b垂直，a也不和b平行 D a不和b平行，但可能a⊥b 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z

且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号

①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面

设a,b是异面直线，下列命题正确的是

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直

④过a一定可以作一个平面与b平行

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，

侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC

(1)CD⊥PD;

(2)EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA

于点E、F、G、

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由

(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC

⊥平面EFGH

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶

FC=1∶3

(1)若M为ABBB1∥平面EFM； (2)EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1

如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面

是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

(1)C1C⊥BD；

A

1

1

1

(2)假定CD=2，CC1=

32

，记面C1BD为α,面CBD

为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

(3)当

CDCC1

的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？

C

参考答案

D

1

1解析如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1

⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H答案C

2解析如图，在l上任取一点P，过P分别在α、

β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角

答案C

3解析①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，

②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例

答案②③

4④

5证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥ (2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面

EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

6(1)∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD面ACD

∴ AD//HG.

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH

(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面 面BCP⊥面EFGH，

在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=

32

a

7(1)连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM

(2) 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得AN⊥BC， 又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥

有关垂直与平行的判断题篇三：二轮复习之关于垂直与平行的问题(基础篇)

教学过程

一、高考解读

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2015年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：

（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；

（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点.

二、复习预习

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线，则该直线与此平面平行。 直线和平面内的一条直线，这个定理用符号语言来表示，即若a，a//b，b，则a//，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。

2、直线与平面垂直

（1）判定定理：一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）性质定理：一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的。

三、知识讲解

考点1

空间中的平行关系：

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；

◆垂直于同一个平面的两条直线平行

考点2

1．线线垂直 判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也

和这条斜线的射影垂直.

PO,O推理模式： PAAaAO。

a,aAP注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a. 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理. ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

有关垂直与平行的判断题篇四：(第27讲)关于垂直与平行的问题

题目

高考要求

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题

1平行转化线线平行线面平行

2垂直转化线线垂直线面垂直

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的

例如有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直

典型题例示范讲解

例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证MN∥平面BCE 命题意图本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识

知识依托解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)或转化为证两个平面平行

错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键

证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行

作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

P∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE 如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC， AMAH∴ ACAB

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴

NH//AF//BE FNAH BFAB成都市第九中学 第1页共6页

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC

(1)若D是BC的中点，求证AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由 命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的C

判定与性质 知识依托线面垂直、面面垂直的判定与性质 1

错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线

(1)证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1

(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N

∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C

∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1

(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性

过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE

∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

∴AM=DE=1CC11

2AA1，∴AM=MA12

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直

(1)求证AB1⊥C1D1；

(2)求证AB1⊥面A1CD；

成都市第九中学 第2页共6页

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD

(1)证明∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，

∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，

∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1

(2)证明连结D1D，

1∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，

由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1

(3)解 由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，

∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=

∴∠OCAAO1， AC2

1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )

43 D 342在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，A 8 3B3 8 C则( )

A a不和b垂直，但可能a∥b a可能和b垂直，也可能a∥b

a不和b垂直，a也不和b平行 D a不和b平行，但可能a⊥b 3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号)

①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面

4设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b

都相交

②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b

都垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行

成都市第九中学 第3页共6页

5如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点

(1)求证CD⊥PD;

(2)求证EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ 6如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA

于点E、F、G、H

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由 (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明 7如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3

(1)若M为AB中点，求证BB1∥平面EFM； (2)求证EF⊥BC； (3)求二面角A1—B1D—C1的大小

8如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°, A1 (1)证明C1C⊥BD； 1(2)假定CD=2，CC1=3，记面C1BD为α,面CBD21

为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

CD(3)当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？ CC1参考答案

解析 如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1D⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交

线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知

A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，1A1O1=2，AO1=3，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H答案C

解析如图，在l上任取一点P，过P分别在α、 成都市第九中学

β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角 答案C 解析①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 ②③ ④ 证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD

(2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD (1)∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD面ACD ∴ AD//HG.

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH

(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH，

3a 2

(1)连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM

(2)证明取BC的中点N，连结ANAN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=

成都市第九中学 第5页共6页

有关垂直与平行的判断题篇五：(第27讲)关于垂直与平行的问题

题目

高考要求

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题

1平行转化线线平行线面平行

2垂直转化线线垂直线面垂直

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的

例如有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直

典型题例示范讲解

例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证MN∥平面BCE 命题意图本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识

知识依托解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)或转化为证两个平面平行

错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键

证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行

作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

P∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE 如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC， AMAH∴ ACAB

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴

NH//AF//BE

FNAH BFAB1

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC

(1)若D是BC的中点，求证AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的C

判定与性质 知识依托线面垂直、面面垂直的判定与性质 1

错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线

(1)证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1

(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N

∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C

∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1

(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性

过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE

∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

∴AM=DE=1CC1

212AA1，∴AM=MA1

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直

(1)求证AB1⊥C1D1；

(2)求证AB1⊥面A1CD；

2

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD

(1)证明∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，

∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，

∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1

(2)证明连结D1D，

1∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，

由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1

(3)解 由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，

∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=

∴∠OCAAO1， AC2

1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )

43 D 342在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，A 8 3B3 8 C则( )

A a不和b垂直，但可能a∥b a可能和b垂直，也可能a∥b

a不和b垂直，a也不和b平行 D a不和b平行，但可能a⊥b 3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号)

①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面

4设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b

都相交

②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b

都垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行

3

5如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点

(1)求证CD⊥PD;

(2)求证EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ 6如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA

于点E、F、G、H

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由 (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明 7如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3

(1)若M为AB中点，求证BB1∥平面EFM； (2)求证EF⊥BC； (3)求二面角A1—B1D—C1的大小

8如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°, A1 (1)证明C1C⊥BD； 1(2)假定CD=2，CC1=3，记面C1BD为α,面CBD21

为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

CD(3)当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？ CC1参考答案

解析如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1D⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交

线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知

A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，1A1O1=2，AO1=3，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H答案C

解析 如图，在l上任取一点P，过P分别在α、

β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角 答案C 解析①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 ②③ ④ 证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD

(2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD (1)∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD面ACD ∴ AD//HG.

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH

(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH面BCP⊥面EFGH，

3a 2

(1)连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM

(2)证明取BC的中点N，连结ANAN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=

5

有关垂直与平行的判断题篇六：高中数学复习专题讲座关于垂直与平行的问题

高中数学复习专题讲座关于垂直与平行的问题

高考要求

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题 重难点归纳

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 线线平行线面平行面面平行 2 垂直转化 线线垂直线面垂直面面垂直

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 例如 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 典型题例示范讲解

例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证 MN∥平面BCE

命题意图 本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识

知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线

(内)∥线(外)

线(外)∥面 或转化为证两个平面平行

错解分析 证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键

技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行

证法一 作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

P

∴MN∥平面BCE

证法二 如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC， ∴

AMAC

AHAB

FNBF

AHAB

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC

(1)若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于

角形，

M，若

AM=MA1，求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由 命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质 知识依托 线面垂直、面面垂直的判定与性质

错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出

技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线

(1)证明 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1

(2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C

(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性 过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点 ∴AM=DE=CC1

21

12

AA1，∴AM=MA1

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直

(1)求证 AB1⊥C1D1； (2)求证 AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角 (1)证明 ∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点， ∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1， ∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1 (2)证明 连结D1D， ∵D是AB中点，∴DD1

CC1，∴C1D1∥CD，

1

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1， 由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD (3)解 由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，

∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=学生巩固练习

6

AOAC



12

，

1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )

A

83

38

43

34

B C D

2 在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则( ) A a不和b垂直，但可能a∥b B a可能和b垂直，也可能a∥b C a不和b垂直，a也不和b平行 D a不和b平行，但可能a⊥b

3 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号)

①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面

4 设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________ ①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b相交

②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直 ④过a一定可以作一个平面与b平行 5 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点

(1)求证 CD⊥PD;

(2)求证 EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ 6 如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,

平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由 (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明

7 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3

(1)若M为AB中点，求证 BB1∥平面EFM；

(2)求证 EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小

8 如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

(1)证明 C1C⊥BD；

都都

侧

是菱

A1

1

(2)假定CD=2，CC1=

32

，记面C1BD为α,面CBD

1

为

β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

(3)当

CDCC1

的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？

C

参考答案

1 解析 如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=答案 C

2 解析 如图，在l上任取一点P，过P分别在α、a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角 答案 C

3 解析 ①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的

D

1

⊥为长

43

β内作a′∥C，则AC⊥β,AB⊥b′，

三条共点棱时

为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 ②③ 4 ④

5 证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD

(2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解 当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明 G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP 由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

6 (1)证明 ∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD面ACD ∴ AD//HG.

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形

(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP ∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH， 在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=

32

a

7 (1)证明 连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM

(2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 AN⊥BC， 又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN， ∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM， 又EF平面EFM，∴BC⊥EF

(3)解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面角，易得∠A1QO=arctan

8 (1)证明 连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD (2)解 由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，

∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角 在△C1BC中，BC=2，C1C=∴C1B2=22+(

32

32

，∠BCC1=60°，

134

)2－2×2×

12

32

×cos60°=

32

∵∠OCB=30°,∴OB=

,BC=1,C1O=,即C1O=C1C

32

作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，∴cosC1OC=

33

=1时，平行六

(3)解 由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当

CDCC1

面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD

课前后备注

有关垂直与平行的判断题篇七：四年级判断题专题

四年级判断题专题

理清概念，正确判断。（正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。）

1.在2.09的末尾添上两个“0”，这个数的大小不变。 （ ）

2.手电筒射出的光线，可以看成射线。 （ ）

3.角的两边叉开的越大，角就越大。 （ ）

4.永不相交的两条直线叫做平行线。 （ ）

5.一个整数除以一个小数，商一定比这个整数大。 （ ） 6、9005800读作九百万零五千八百。 （ ）

7、63×87的积与87×7×9的积相等。 （ ）

8、两个因数相乘（都大于0），如果两个因数都扩大10倍，积不变。 （ ）

9、A÷B=C（A、B都大于0）如果A乘以5，B除以5，则C大小不会变。（ ）

10. 角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关。 ( )

11. 整数数位顺序表中，任何两个计数单位之间的进率都是10。

( )

12. 钝角一定比直角大，比直角大的角一定是钝角。 ( )

13. 长方形是特殊的平行四边形。 ( )

14. 两个数相除，把被除数乘以10，除数除以10，商不变。 ( )

15.从左边数起，第八位是千万位。（ ）

16.197500≈19万，598400=60万。（ ）

17.边长4分米的正方形，周长和面积相等。（ ）

18.要知道课桌面的大小，就要计算它的面积。（ ）

19、通过一点只能画一条直线，通过两点可以画两条直线。 （ ）

20、个位、十位、百位……都是计算单位。 （ ）

21、两个数相乘（0除外），一个因数不变，另一个因数扩大若干变，积不变。 （ ）

22、读含有两级数时，要先读万级，再读个级。 （ ）

23、在有余数除法中，可以出现商和余数相等的情况。 （ ）

24、平行四边形底比高长 （ ）

25、梯形是特殊的平行四边形 （ ）

26、永不相交的两条直线叫做平行线 （ ）

27、从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，与直线垂直的那条最短 （ ） 第2/3页

28、用刻度尺可以画一条10厘米的直线 （ ）

29、如图，a和b是两条互相平行的直线 ，那么∠1=∠2

30、两直线不相交时，这两条直线叫互相平行（ ）

31、四条边都相等的平行四边形，一定是正方形 （ 32 .平行四边形的高和它相对应的底互相平行 （

33. 两条平行线之间所有线段的长度都相等。（ ）

34. 在同一平面内，与已知直线距离相等的平行线有2条。（

35. 延长长方形的任意两条相对的边，它们永不相交。（ ）

36. 大于直角的都是钝角。（ ）

37. 平角就是一条直线，周角就是一个圆。（ ）

38. 锐角都小于90°。（ ）

39. 12时15分时针和分针成直角。（ ）

四年级上册数学易错题综合练习

判断题练习：

第一部分：

1、298×71≈2100 （ ）

2、永不相交的两条直线叫做平行线。 （ ）

3、37×101－37=37×100 （ ）

4、小明画了一条12厘米长的直线。 （ ）

5、直线比线段和射线都长。 （ ）

6、比最小的五位数少1的数是9999。

7、在除法里，被除数扩大10倍，除数缩小10倍，商不变。---- （ ）

8、一个除法算式的除数是126，余数最大只能是125。--------（ ）

9、在一个数里不管有几个零都只读一个零 （ ）

10、每两个单位之间的进率是10 （ ）

11、射线和线段都是直线上的一部分 ( ) 12、角的两边越大，角就越大 (

13、大于90度的角是钝角 ( ) 14、过两点只能画一条线段 （

15、用10倍的放大镜看一个30度的角，这个角是300度 （ ）

16、要求路程，必须知道速度和工作总量 （ ）

17、两个因数末尾一共有3个0，积的末尾一定是3个0 （ ）

18、两个完全一样的直角三角形只能拼一个长方形 （ ）

19、从直线外一点，可以画无数条这条直线的平行线和垂线 （ ）

20、长方形是特殊的平行四边形 （ ）

第二部分：

1、有一组对边平行的四边形是梯形 （ ）

2、平行线间的距离处处相等 （ ）

3、梯形的内角和是360度 （ ）

4、永不相交的两条直线叫平行线 （ ）

5、两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形 （ ）

6、梯形是特殊的平行四边形 （ ）

7、两条直线相交，其中一个角是直角，那么这两条直线互相垂直

8、、把一个30度的角的边延长两倍就变成了60度。……………（ ）

9、 两条不相交的直线一定是平行线。……………………………（ ）

10、九位数一定比八位数要大。……………………………………（ ）

11、四位数除以两位数商可能是两位数。…………………………（ ）

12、把497000精确到万位约是50。……………………………… （ ）

13、0°的角和360°的角一样大。 （ ）

14、一条射线OA，经过度量它的长度是5厘米。（ ）

15、射线就是周角，直线也就是平角。 （ ）

16、角的大小与边的长短有很大关系。 （ ）

17、用三角尺可以画出75°、120°、140°的角。（ ）

18、经过一点可以画一条直线。 （ ）

19、两个梯形可以拼成一个平行四边形。 （ ）

20、有四个角是直角的图形一定是长方形。 （ ）

21、过一点可以画一条直线。 （ ）

22、只有一组对边平行的四边形一定是梯形。 （ ）

23、只要不相交就一定是平行线。 （ ）

24、两条直线相交就一定是垂直。 （ ）

25、把一条线段向一端延长100米，就得到一条射线。

26、上午9时30分，钟面上分钟和时针所夹的角是直角。

27、810÷5=（810×2）÷（5×2）。

28两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是90度，那么这两条直线一定互相垂直。 （ ）

28上午9时30分，分针和时针所成的角是直角。 （ ）

30、先在纸上画4个点，再经过每两点画一条直线，最多能画4条。（ ）

31、不相交的两条直线叫做平行线。 （ ）

32、从正面看到的

的图形，一定是由4个小正方形拼成的。 （ ）

有关垂直与平行的判断题篇八：【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)

第2讲 空间中的平行与垂直

考情解读 1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．

1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理

2.

提醒3．平行关系及垂直关系的转化

热点一 空间线面位置关系的判定

例1 (1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C．若a∥α且a∥β，则α∥β D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β

(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，

a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：

①若α⊥β，m∥α，则m⊥β ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )

A．①③ C．①④ 答案 D

B．②③ D．②④

热点二 平行、垂直关系的证明

例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD

.

如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD

为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 热点三 图形的折叠问题

例3 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．

π

如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝AB＝BC＝2AD＝4，E，F

2

分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点．

(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；

(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式．

真题感悟

1．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

2．(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点． (1)求证：EF⊥平面BCG； (2)求三棱锥D－BCG的体积．

1

附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．

3押题精练

1.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题： ①PA∥平面MOB； ②MO∥平面PAC； ③OC⊥平面PAC； ④平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．

2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？并证明你的结论．

(推荐时间：60分钟)

一、选择题

1．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定

2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ) A．α⊥β，且m⊂α C．α⊥β，且m∥α

B．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，且n∥β

3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( ) A．BD∥平面CB1D1 C．AC1⊥平面CB1D1

B．A1C⊥BD D．AC1⊥BD1

4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( ) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：

①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α； ④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

6.在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是( ) A．12π C．36π 二、填空题

7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数为_________________． 8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．

B．32π D．48π

有关垂直与平行的判断题篇九：高中数学复习专题讲座(第27讲)关于垂直与平行的问题

题目

高考要求

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用

它们解决一些问题

重难点归纳

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系

平行转化线线平行

线面平行线面垂直

垂直转化线线垂直

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的

例如 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直

典型题例示范讲解

例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FNMN∥平面BCE

命题意图本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，

以及一些平面几何的知识

知识依托解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)或转化为证两个平面平行

错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确

的找出MN所在平面是一个关键

技巧与方法证法一利用线面平行的判定来证明证法二采用转化思

想，通过证面面平行来证线面平行

证法一作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥ ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE

P

证法二如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

AMAC



AHAB

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

FNBF



AHAB

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面

(1)若D是BCAD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于

M，若AM=MA1截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

1

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由

命题意图本题主要考查线面垂直、面面垂直的C

判定与性质

知识依托线面垂直、面面垂直的判定与性质

错解分析 (3)

技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线

(1)∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1

(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1

(3)结论是肯定的，充分性已由(2)

过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点 ∴AM=DE=CC1

21

12

AA1，∴AM=

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、

A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B

(1)求证AB1⊥C1D1；

(2)AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD

(1)∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，

∴C1D1⊥A1B1于D1，

又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1， ∴C1D1⊥平面A1B1BA，

而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D

(2)连结D1D，

1

∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，

由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1， 由三垂线定理得BD1⊥AB1，

又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD

(3)由(2)AB1⊥平面A1CD于O，

连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角， ∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AOAC



12

，

学生巩固练习

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )

A83

B

38

43

34

在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，

则( )

Aa不和b垂直，但可能a∥b

Ba可能和b垂直，也可能a∥b

C a不和b垂直，a也不和b平行 D a不和b平行，但可能a⊥b 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z

且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号

①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面

设a,b是异面直线，下列命题正确的是

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 ②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 ③过a一定可以作一个平面与b垂直

④过a一定可以作一个平面与b平行

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，

侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC

(1)CD⊥PD;

(2)EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA

于点E、F、G、

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由

(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC

⊥平面EFGH

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶

FC=1∶3

(1)若M为ABBB1∥平面EFM； (2)EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1

如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面

是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

(1)C1C⊥BD；

A

1

1

1

(2)假定CD=2，CC1=

32

，记面C1BD为α,面CBD

为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

(3)当

CDCC1

的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？

C

参考答案

D

1

1解析如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1

⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H答案C

2解析如图，在l上任取一点P，过P分别在α、

β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角

答案C

3解析①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，

②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例

答案②③

4④

5证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥ (2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面

EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

6(1)∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD面ACD

∴ AD//HG.

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形

∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，

∴HG⊥EH，四边形EFGH

(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面 面BCP⊥面EFGH，

在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=

32

a

7(1)连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM

(2) 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得AN⊥BC， 又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥

有关垂直与平行的判断题篇十：2015届高考二轮复习 专题五 第2讲 空间中的平行与垂直

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