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圆锥曲线综合练习题

2012-03-08 | 汉语四六级 |

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圆锥曲线综合练习题篇一：圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习

一、选择题：

1．已知椭圆

10m



m2

1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）

A．4 B．5 C．7 D．8 【解析】由m2(10m)()2，得m8，故选：D

2．直线x2y20经过椭圆心率为（） A

．



1(ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离

B．

D．

【解析】直线x2y20与坐标轴的交点为(2，0)，(0，依题意得c2，

b1，a 1)，

所以e3．设双曲线

A．



1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为（）

A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C

4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x

1的离心率是（）

．

． C

答案：D 5．已知双曲线



1(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于

M，N两点，O为坐标原点．若OMON，则双曲线的离心率为（）

．

答案：D

6．已知点F1，F2是椭圆x22y22的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么



|PF1PF2|的最小值是（

）

A．0 B．1 C．2 D

．答案：C 7．双曲线



1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（）

A．22或2 B．7 C．22 D．2

【解析】由双曲线定义知，||PF1||PF2||10，所以|PF1|22或|PF2|2，故选A．

8．P为双曲线



2222

1的右支上一点，M，N分别是圆(x5)y4和(x5)y1

上的点，则|PM||PN|的最大值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】设双曲线



右焦点分别为F1，F2，则圆(x5)2y24的圆心为F1，1的左、

半径r12．圆(x5)2y21的圆心为F2，半径r21．

所以|PM|max|PF1|r1|PF1|2，|PN|min|PF2|r2|PF2|1．由双曲线定义得|PF1||PF2|6，

所以(|PM||PN|)max|PF1|2(|PF2|1)9．故选：D

9．已知点P(8，a)在抛物线y24px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（）

A．2 B．4 C．8 D．16

【解析】准线方程为xp，由已知得8p10，所以p2，所以焦点到准线的距离为

2p4． 10．在正△ABC中，DAB，EAC，向量DE

双曲线离心率为（） A

．



1BC2

，则以B，C为焦点，且过D，E的

1 C

1 D

1

2，向量DEBC

【解析】设正△ABC的边长为，则D，E分别是AB，AC的中点．

由双曲线定义知|BE||EC|

2a，所以a

所以离心率e

ca

1．故选：D

c1

11．两个正数a，b的等差中项是焦点坐标是（） A．(

516，0)

，

一个等比中项是且ab，则抛物线y2

的

B．(，0) C．(，0) D．(，0)

211

ab9

【解析】依题意得ab20，解得a5，b4，

ab

所以抛物线方程为y2x，

其焦点坐标为(，0)，故选：C

12．已知A1，A2分别为椭圆C:

恒满足kPAkPA



椭圆C上异于A1，A2的点P 1(ab0)的左右顶点，

，则椭圆C的离心率为（）

A．

B．

C． D



x0ax0a9

x0a

【解析】设P(x0，y0)，则

y0y0

，化简得



y04a9

1，

可以判断故选：D



，e

13．已知F1、F2分别是椭圆



1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内



为坐标原点），AF2F1F20

的一点，点B也在椭圆椭圆的离心率等于A．

y答案：A



上，且满足OAOB0（O

，若

, 则直线AB的方程是( )

．y C

．y2

．y

14．已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A．3 B

答案：B 15．若椭圆

D．



1与双曲线



1(m，n，p，q

均为正数）有共同的焦点F1，F2，P （）

是两曲线的一个公共点，则|PF1||PF2|等于

A．mp

B．pm

C．mp

D．m2p2

答案：C

16．若P(a，b)是双曲线4x216y2m(m0)上一点，且满足a2b0，a2b0，则该点P一定位于双曲线（）

A．右支上 B．上支上 C．右支上或上支上 D．不能确定答案：A



17．如图，在△ABC中，则以A，B CABCBA30，AC，BC边上的高分别为BD，AE，

为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（） A

B．1 C

D．2

答案：A

【解析】设|AB|2c, 则在椭圆中,

而在双曲线中,

1表示的曲线是（）

A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线【解析

】

即

又

方程

表示的曲线是椭圆。

()式0.

y轴上的椭圆，

故选：C 19．已知F1，

F2是椭圆



1(a

b0)的左、右焦点，点P

在椭圆上，且F1PF2

2

记

线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为

1:2

，则该椭圆的离心率等于 ( )

B．3 C．4 D1

x2y2c2

在圆x2y2c2上，由x2y2

221

ba

A．2【解析】由题意知点P

消y得xP

2caa

224

又

因为△F1

|F1O||OQ|

与四边形

OF2PQ的面积之比为1: 2，可得

2c2

,,F1Q2QP,xp

|F1F2||yp

|3|yP|34

|OQ|

2caa

ce

224



,e8e40,e4e4舍),

4222

1，故选：D

20．已知双曲线方程为x

1，过P(2，1)的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线

的条数共有（）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条答案：C

21．已知以F1(2，0)，F2(2，

0)为焦点的椭圆与直线x40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A．

3 答案：C 22．双曲线

B．

2 C．

D．



1与椭圆



1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以

a，b，m为边长的三角形是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形答案：C

23．已知点A(1，0)，B(1，0)及抛物线y22x，若抛物线上点P满足PAmPB，则m的最大值为（）

A．3 B．2 C

【答案】C

24．设F1，F2是椭圆E:



1(ab0)

的左、右焦点，P为直线x

a上一点，△F2PF1

是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） A．

B．

C．

D．

答案：C

25．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B 两

点，|AB|C的实轴长为（）

． B

． C．4 D．8

答案：C 26．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，

为C准线上一点，则△ABP的面积为（）

A．18 B．24 C．36 D．48 答案：C

27．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为（）

． B

． C

答案：D

圆锥曲线综合练习题篇二：圆锥曲线综合练习题20120630

一、选择题

1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 C．4

B．22 D．2

x2y2

解析：双曲线方程可变为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.

48答案：C

x2y2

2．过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

ab若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )

3 3

1 213

b2b2

解析：由题意知点P的坐标为(－c，或(－c，－，

aa∵∠F1PF2＝60°，

∴3，即2ac3b2＝3(a2－c2)． ba∴3e2＋2e3＝0.∴e＝答案：B

x2y2

3．(2011·浙江杭州模拟)双曲线1的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝2相交于M、N

3b两点且|MN|＝2，则此双曲线的焦距是( )

A．22 C．2

B．23 D．4

bbx，圆心到渐近线的距离为1，b＝1，则c＝33＋b3

e3(舍去)． 3

解析：一条渐近线方程为y＝ 3＋1＝2,2c＝4. 答案：D

4．(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )

A．(0,2)

B．[0,2]

C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要

|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

答案：C 二、填空题

5．(2011·新课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为

过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方2

程为__________．

x2y2c解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(a>b>0)，∵e＝∴.

ab2a2根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，

x2y2

所以椭圆方程为1.

168x2y2

答案：1

168

6．(2011·温州模拟)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分|AF|别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.

|FB|

解析：由已知，得直线方程为y＝消去x得12y2－20py＋3p2＝0，

∵点A在y轴左侧， p3∴yA＝，yB＝p.

如图所示，过A、B分别作准线的垂线AM、BN，由抛物线定义知|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|， pp

＋

|AF||AM|621∴. |FB||BN|3p3

p＋221答案：3

7．经过点M(10，)，渐近线方程为y＝的双曲线的方程为________．

338

解析：设双曲线方程为x2－9y2＝λ，代入点(10，3∴λ＝36.

x2y2

∴双曲线方程为1.

364

x＋，与x2＝2py联立32

x2y2

答案：1

364三、解答题

8．(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

x2y29．(2011·西安模拟)已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C1(a>b>0)的右焦点

F，且交椭圆C于A、B两点．

(1)若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；



(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．



(2)对于(1)中的椭圆C，若直线l交y轴于点M，且MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，当m

变化时，求λ1＋λ2的值．

10．(2011·杭州模拟)已知直线(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)＝0(m∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

1218(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，FA|·|FB|≤，求直线l的斜率的取值范

围．

参考答案

8.解：(1)直线AB的方程是y＝2x－，

2与y2＝2px联立，

从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝4由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝2，

从而A(1，－2)，B2)；



设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)

＝(4λ＋1,4λ－2．

又y23＝8x3，即2(2λ－1)]＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.

9.解：(1)根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)过椭圆C： x2y2

1(a>b>0)的右焦点F， ab∴F(1,0)．∴c＝1，

又∵抛物线x2＝3y的焦点为椭圆C的上顶点， ∴b3.∴b2＝3. ∴a2＝b2＋c2＝4.

x2y2

∴椭圆C的方程为＝1.

431

(2)∵直线l与y轴交于M(0，－)，

x＝my＋1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2得 2

3x＋4y－12＝0，

(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0， 6m9

∴y1＋y2＝－，y1y2.

3m＋43m＋4112m

∴． y1y23

1

又由MA＝λ1AF，∴(x1，y1＋＝λ1(1－x1，－y1)，

∴λ1＝－1－，同理λ2＝－1－，

my1my211128

∴λ1＋λ2＝－2－)＝－2－.

my1y2338

∴λ1＋λ2＝－.

10.解：(1)由(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)＝0，得(x－3y－1)＋m(3x＋2y－3)＝0，

x－3y－1＝0，由解得F(1,0)． 3x＋2y－3＝0，

x2y2

设椭圆C的标准方程为1(a>b>0)，

abc＝1，

则a＋c＝3，a2＝b2＋c2，

解得a＝2，b＝，c＝1.

x2y2

从而椭圆C的标准方程为1.

y＝kx－122

(2)设过F的直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xy

＋1，43得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 因点F在椭圆内，即必有Δ>0，



有4k－12

xx＝3＋4k

8k2x1＋x2＝3＋4k

所以|FA|·|FB|＝(1＋k2)|(x1－1)(x2－1)| 91＋k2＝(1＋k)|x1x2－(x1＋x2)＋1|＝.

3＋4k2

1291＋k18由≤，得1≤k2≤3， 53＋4k7

3≤k≤－1或1≤k3，

所以直线l的斜率的取值范围为[－3，－1]∪[13]．

圆锥曲线综合练习题篇三：圆锥曲线基础综合练习题

圆锥曲线综合练习题

一、选择题

1.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）

A．甲是乙成立的充分不必要条件

C．甲是乙成立的充要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件

2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别为(4,0),(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程为（） x2y2y2x2x2y2y2x2

1 B.1 C.1 D.1 A.25925925161625

3.椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k等于（）

A. 1 B. 1 C.

D. 4.若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）

（0，1）（0，）（0，2）（1，） A． B． C． D．

x2y2x2y2

5．椭圆221和22kk0具有相同的（） abab

A．离心率 B．焦点 C．顶点 D．长、短轴长

x2y2

1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB过点F1，6.已知椭圆225a

则ABF2的周长为（） A.10 B.20 C.241 D.441

x2y2

N是MF1的中点，1上点M到左焦点F1的距离为2，7.椭圆则ON的值（） 259

A.2 B.4 C.6 D.8

8.椭圆y21的两个焦点F1、F2，P在椭圆上，若PF1x轴，则PF2的值（） 4

1357 A. B. C . D. 2222

9.P为椭圆短轴的一个顶点，F1、F2为焦点，若F1PF260,则离心率e为（） 3321 B. C . D. 2322

10.若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率e为（） A.

A.3313 B. C . D. 2325

x2y2

11.椭圆221的左焦点为F1，右顶点为A，上顶点为B,若ABF190,则离ab

心率e的值为（） 25115 A. B. C . D. 2222

x2y2

12.已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且ab

BFx轴，直线AB交y轴于点P，若AP2PB,则椭圆的离心率e为（） 3321 B. C . D. 2322

y21上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF290，13.若点P在椭圆2

则F1PF2的面积是（） A.

A. 2 B. 1 C. 13 D. 22

x2y2

1的焦点F1、F2，14.已知椭圆P为椭圆上的一点，若PF1PF2，则F1PF2259

的面积为（）

A.8 B.9 C .10 D.12

x2y2

1的右焦点F2作斜率为2的直线l与椭圆交与A、B两点则15.过椭圆54

SOAB的值为（） A.4558 B. C . D. 3363

16.椭圆4x29y2144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦

所在直线的方程为（）

A．3x2y120 B．2x3y120

C．4x9y1440 D． 9x4y1440

17.已知点F1(4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则曲线方程为（）

x2y2y2x2

1 B．1(y0) A．9797

x2y2y2x2x2y2

1或1 D．1(x0) C．979797

18.双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y2x，则双曲线的标准方程是（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B．1 C．1 D．1 A．36632442

19.焦点为0,6，且与双曲线x2

y21有相同的渐近线的双曲线方程是（） 2

x2y2y2x2

1 B．1 A．12241224y2x21 C．2412x2y21 D．2412

20.双曲线2x2y2m的一个焦点是(0,3)，则m的值是（）

A. 2 B. 2 C. 5

D. x2y2

1的离心率2，则该双曲线的实轴长为( ) 21．已知双曲线2a12

A.2 B.4 C.23 D.4

x2y2

1表示双曲线，则k的取值范围是（） 22．方程1k1k

A．1k1 B．k0 C．k0 D．k1或k1

x2y2

1表示双曲线”的( ) 23.若kR，则“k3”是“方程k3k3

A.充分不必要条件. B.必要不充分条件.

C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.

x2y2

1的焦距是（） 24. 双曲线22m124m

A．4 B．22 C．8 D．与m有关

x2y2

25.若双曲线221ao的离心率为2，则a的值为（）

3C. D. 1 2

x2y2

1左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2的周长是（） 26.过双曲线169

A．28 B．22 C．14 D．12

x2y2

1上一点，双曲线的一条渐近线方程为27.已知P是双曲线29a

3x2y0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|（）

A．1或5 B． 6 C． 7 D． 9

x2y2

28.过双曲线221(a0,b0)的焦点且垂直于x轴的弦的长度为（） ab

b22b22bb A. B. C. D. aaaa

x2y2

29.设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近ab

线方程为（） A. y2x B. y2x C. y21x D.yx 22

x2y2

1(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程30.已知双曲线2b2

为yx，点P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝( )

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

x2y2

31.设F1、F2分别为双曲线221(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上ab

存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )

A.3x4y0 B.3x5y0 C.4x3y0 D.5x4y0

32.已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则PF1PF2的值为( )

A.2 B.4 C. 6 D. 8

33.已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则P到x轴的距离为（）

21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若34.设P为双曲线x12

|PF1|:|PF2|3:2，则△PF1F2的面积为（）

． B．12 C

． D．24

x2y2435.双曲线221的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 ( ) 3ab

5453 A. B. C. D. 3342

36.在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为( )

．．2 37.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

x2y2

38.设F1，F2分别是双曲线221（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线上ab

存在点A，使F1AF290且AF13AF2，则双曲线的离心率为（）

． 2 B

． 2 C

． 2 D

x2y2

39.双曲线221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角ab

为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，双曲线的离心率（）

． C

x2y2

40.已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直ab

线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.(1,2] B.(1,2) C.[2,) D.(2,)

x2y2

41.已知P为双曲线221上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆ab

222xya的位置关系是（）

A．内切 B．外切 C．内切或外切 D．相离或相交

42．顶点在原点，焦点在x轴上，且过点P（2,4）的抛物线方程是（）

A.y28x B.y28x C.y24x D. y24x

243.抛物线y2x的焦点坐标是（）

11(0,) A．(1,0) B．(,0) C．84

抛物线的焦点坐标是( ) D． (0,) 1444. 已知M（m,4）是抛物线x2ay上的点，F是抛物线的焦点，若MF5，则此

（0，1）（0，1）（0，2）（0，2） A． B． C． D．

45．抛物线y2ax(a0)的焦点坐标是( )

aaaaa（，0）（，0）（，0）（，0）（0） A． B． C．或 D． 44444

x2y2

21的右焦点重合，则p的值为( ) 46．若抛物线y=2px的焦点与椭圆62

A.2 B．2 C．4 D．4

47.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是( )

A.y28x B.y24x C.y28x D.y24x

48.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

49.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF

斜率为PF( )

50.过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为

|AB|的长是 ( ) 3的直线交抛物线于A、B两点，则弦4

A.42 B.4 C.8 D.2

51.已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P3,1，则|MP||MF|的最小值为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

52.过抛物线yax2a0的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、

圆锥曲线综合练习题篇四：圆锥曲线综合应用习题

圆锥曲线综合应用习题

x2y2

1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、1．点A、B分别是以双曲线

1620

右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，0

（1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M

的距离d的最小值。

2已知在平面直角坐标系xoy中，向量(0,1),OFP的面积为23，

且

OFFP,tOO . Pj





（I

）设4t求向量OF与FP 的夹角的取值范围；

（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且

||c,t(31)c2,当||取最小值时，求椭圆的方程.

3．设A、B是椭圆3x2＋y2=λ上的两点, 点N(1,3)是线段AB的中点. (1)确定λ的取值范围, 使直线AB存在, 并求直线AB的方程.

(2)线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点, 求线段CD的中点M的坐标 (3)试判断是否存在这样的λ, 使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.

4．设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C:y2px(p

0)2



且OPOQ0，直线PQ与x轴相交于E．

（Ⅰ）若P,Q到x轴的距离的积为4，求p的值；

（Ⅱ）若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于E的一点F直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴相交于



有TR3TQ，若存在，求出F点的坐标（用p表示），若不存在，说明理由．

5．已知点A、B的坐标分别是(1,0)，(1,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.

(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若过点N(,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线

l的方程.

6．已知M(0,2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，



APPB，MAAP0.

（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C方程；

（Ⅱ）过(2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1l2，求直线l的方程.

7．已知点C为圆(x1)y8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且MQAP0,AP2AM.

（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若直线ykxk21与（Ⅰ）中所求点Q

的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，

且

OFOH，求△FOH的面积 34

x2y2

8．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:221(a

b0)的离

心率e＝

，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x2

直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足PA求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

9．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A2,0、B2,0、C1,

三点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若直线l：ykx1（k0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x4上．

10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明();

(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

32

x22

y1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，11．已知椭圆C1的方程为4

而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。（1）求双曲线C2的方程；



（2）

若直线l:ykxC2恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2（其

中O为原点），求k的范围。

12．如图,过抛物线x24y的对称轴上任

一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q 是点P关于原点的对称点．



⑴．设点P满足APPB（为实数），

证明：QP(QAQB)；

⑵．设直线AB的方程是x2y120，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

13．一束光线从点F1(1,0)出发，经直线l:2xy30上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0)．

（Ⅰ）求点F1关于直线l的对称点F1的坐标；（Ⅱ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；

（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F2的距离与到椭圆C

右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点

Q的坐标．

14．已知平面上一定点C(1,0)和一定直线l:x4.Ｐ为该平面上一动点，作PQl,垂足为

Q，(PQ2PC)(PQ2PC)0.

(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；





(2) 点Ｏ是坐标原点，A、B两点在点Ｐ的轨迹上，若OAOB求的取值范（1）OC，

围．

|FG|10，15．如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|6 ，且2EHEG，HP·GE0，（G为动点，P是HP和GF的交点）

（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；

（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF

（或EF的延长线）相交于一点C，则|OC|＜（O为EF的中点）．

圆锥曲线综合练习题篇五：圆锥曲线的综合习题

圆锥曲线综合题

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.

圆k的半径R=|AK|=(x0a)2y0

x0a2

∴|MN|=2R2x02x0a2x0=2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1－y2|=2a∴|y1|+|y2|=|y1－y2|∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即 2ax0－a2≤0.∴0≤x0≤

x2y2

若椭圆22=1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同

的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.

例1：已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，

知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.

错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的.

技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+的大小.

解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

.圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k 22

半径R=x0a2≥a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.

x2y2

例2：如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直mm1

线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值

与R=x0a2

命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.

第 1 页

知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值.

错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点.

技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.

解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又

椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

2m2111

，可知f(m)= 又2－≤2－≤2－

12m25m2m

10442

,∴f(m)∈［］故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最

393

102

小值为，此时m=5.

例3：舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播

(2)由f(m)=

速度为1千米/秒，炮弹的速度是

yx1

考虑方程组x2,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) y2

1

mm1

整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=

20g

千米/秒，其中g为重力加速度，3

2m

.又∵A、B、C、D都在直线y=x+12m1

上∴|AB|=|xB－xA|=2=(xB－xA)²2,|CD|=2(xD－xC) ∴||AB|－|CD||=2|xB－xA+xD－xC|=2|(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|²=|故f(m)=

2m2m

|²2= (2≤m≤5)

2m12m

22m

，m∈［2,5］. 2m

若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？

命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力

知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.

错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.

技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.

解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2).

第 2 页

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为3x－3y+73=0.

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P

的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.

课后练习：

1.已知A、B、C三点在曲线y=x上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，

x2y2

在双曲线=1的右支上. 45

直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.

据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.

设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=

953

C. D. 4229

2.设u,v∈R，且|u|≤2,v＞0,则(u－v)2+(2u2)2的最小值为( )

当△ABC的面积最大时，m等于( )A.3

A. 4

B. 2

C. 8

D. 22

3. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 ∠OPA=



,则椭圆离心率的范围是_________.

2vsin10203g

，则0,gv0osc3

∴sin2θ=

10gv0



,∴仰角θ=30°. 2

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数

4.一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_________.

5.已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.

6.已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

第 3 页

7.已知抛物线C：y2=4x.

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由. 8.如图，

为半圆，AB为半圆直径，O为半圆

圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设

3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.

4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.(1)方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法：对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法：坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.

=λ，求λ的取值范围. DN

参考答案

xy1

解：由方程组x2y2消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0

221

ba

①

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有

［学法指导］怎样学好圆锥曲线

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.

高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：

1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.

2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.

第 4 页



4a24a2(a2b2)(1b2)0a2b2122

f(0)a(1b)00b12222

f(1)baa(1b)0 

0a12

a01ab022

abab0

同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：

∵m∈(1,4),∴当m

时，S△ABC有最大值，此时m=. 答案：B

2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9

上的点的距离的最小值. 答案：C

x2y2

3.解析：设椭圆方程为22=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,

a2b22

两式联立消y得x－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一2

解为a,由韦达定理x2=

aa2

－a,0＜x＜a，即0＜－a＜a＜e＜1. 2

2e2e2

答案：

1.解析：由题意知A(1，1)，B(m,m),C(4,2). 直线AC所在方程为x－3y+2=0, 点B到该直线的距离为d=

＜e＜1 2

4.解析：由题意可设抛物线方程为x2=－ay,当x=时，y=－

时，y=－；当x=0.824

0.64a0.64

.由题意知≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整a4a

|m3m2|

数为13. 答案：13

5.解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)

SABC

11|m3m2|1131|AB|d|m3m2||(m)2|222224t21(s21)(t21)

∵BP⊥PQ,∴=－1, t1st

即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1. 答案：(－∞,－3]∪[1,+∞)

第 5 页

圆锥曲线综合练习题篇六：圆锥曲线综合练习题

1、已知双曲线A．

B． C．

的两条渐近线与以椭圆 D．

的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为（）

2、若命题：，：，则是的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、椭圆4、中心为A.

, 一个焦点为

离心率为，双曲线离心率 ( ) A．所得弦中点的横坐标为

B． C．D．2

的椭圆 , 截直线

，则该椭圆方程是

5、“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6、椭圆7、双曲线8、过椭圆

A、 B、9、以双曲线

A．10、经过点

A．

=1上一点P与椭圆的两个焦点

的连线互相垂直，则

的面积为（）A.20 B.22 C.24 D.28

的焦点到渐近线的距离为（）2 （B）3 （C）4 （D）5 的左焦点

作直线交椭圆于

两点，

是椭圆右焦点，则

的周长为（）

C、 D、

的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（） B．

C．

D．

,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为（） B.

C．

或

11、中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为．

12、双曲线8kx﹣ky=8的一个焦点为（0，3），则K的值为，双曲线的渐近线方程为 13、已知椭圆14、方程

15、设F1，F2分别是椭圆16、若双曲线

=1与双曲线

﹣y2=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2

表示焦点在y轴上的椭圆时，实数m的取值范围是． +

=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为．

，则实数k的值是

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，椭圆方程是 .

的焦点到渐近线的距离为

17、若椭圆中心为坐标原点，焦点在轴上，直线18、已知双曲线19、已知双曲线C ：

-的离心率为

，则

=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

20、已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为__________________。

三、简答题

21、已知双曲线C的方程为2x2﹣y2=2 （1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的右顶点A到双曲线C的渐近线的距离．

22、已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为

．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

，求直线l的方程．

（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且

23、已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P . （Ⅰ）求该双曲线方程；（Ⅱ）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.

24、已知椭圆

C: (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上. (I)求椭圆C的方程；

(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

25、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点

26、已知椭圆C：

及直线

，若

是椭圆上的动点，求线段

, 且过点的中点

. 的轨迹方程.

。（1）当为何值时，直线与椭圆C有公共点？

（2）若直线与椭圆C交于两点A，B，线段AB的长为

，求直线的方程。

27、已知双曲线，为双曲线上的任意一点。（1）写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程（2）求证：点

到双曲线

的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

圆锥曲线综合练习题篇七：圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

圆锥曲线测试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y＝－x2的准线方程为( )

4A．x＝

B．x＝1 D．y＝2

C．y＝1

解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y，准线方程为y＝1. 答案： C

x2y2

2．以＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

412x2y2

A.1 1612x2y2

C.＋＝1 164

x2y2

B.1 1216x2y2

D.＝1 416

x2y2

解析：双曲线＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±3)，

412故所求椭圆的焦点在y轴上，a＝4，c＝2， x2y2

∴b＝4，所求方程为1，故选D.

416

答案： D

x2y2

3．设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于

169144( )

A．22 C．20

B．21 D．13

解析：由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22. 答案： A

4．双曲线方程为x－2y＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.

 2，0

5 2，0

C.，0 2

D．(，0)

解析：将双曲线方程化为标准方程为x－1，

∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝

22∴c＝

6， 2

故右焦点坐标为6，0.

2答案： C

5．若抛物线x＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为( )

A．4 C．－4

B．2 D．－2

解析：椭圆1的下焦点为(0，－1)，

34p

∴＝－1，即p＝－2. 2答案： D

x2y2

6．若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的( )

k－3k＋3A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

x2y2

解析：方程1表示双曲线的条件是(k－3)(k＋3)>0，

k－3k＋3x2y2

即k>3或k<－3.故k>3－1

k－3k＋3表示双曲线的充分不必要条件．故选A. 答案： A

→→

7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )

A．(0,1) C.0，2 21B.0，2 D.，1 2

→→

解析：由MF1·MF2＝0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需c<b，

即c<b，c<a－c2c<a， c2故离心率e＝a2因为0<e<1，所以0<e<

即椭圆离心率的取值范围是0，

答案： C



.故选C. 28．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )

4A. 53C．－

3B. 54D．－

y＝2x－4，x＝1，x＝4，解析方法一：由2得或 y＝4x，y＝－2y＝4.

令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，

∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3|BF|2＋|AF|2－|AB|24＋25－454

∴cos∠AFB＝＝＝－2|BF|·|AF|2×2×55方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)， →→

∴FA＝(3,4)，FB＝(0，－2)， →→

∴|FA|＝3＋4＝5，|FB|＝2. ∴cos∠AFB＝＝

→→|FA|·|FB|答案： D

x2y2

9．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2

97的面积为( )

A．7 7C. 4

7B. 2D.7 2

→→FA·FB

3×0＋4×－24

5×25

解析： |F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|. |AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45° ＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2 72

＝|AF1|－4|AF1|＋8，∴|AF1|2177S＝×2×.

2222答案： B

10．已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C

相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )

A．x－＝1(x>1)

B．x－＝1(x<－1)

C．x＋＝1(x>0)

2y2

D．x－1(x>1)

解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|. ∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|) ＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.

所以点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的一支，且a＝1， ∴c＝3，b＝8，

∴所以双曲线方程是x1(x>1)．

答案： A

11.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:

y1的右焦点为F,右准线为l，点Al，线



段AF交C于点B，若FA3FB,则|AF|=



解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,

故|BM|.又由椭圆的第二定义,

得|BF|

2|AF|



233

故选A

12.(2009山东卷理)设双曲线



1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共

点，则双曲线的离心率为( ).

B. 5 C.

D.5

【解析】:双曲线



b

yx

1的一条渐近线为yx,由方程组,消去y,得a

ayx21



x

x10有唯一解,所以△=()40, aa

2,e

所以





,故选D.

答案:D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 1

11．若双曲线的渐近线方程为y＝x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程

3是________．

1b1

解析：由双曲线的渐近线方程为y＝x，知＝，

3a3它的一个焦点是(10，0)，知a2＋b2＝10， x22

因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是y＝1.

答案：－y2＝1

x2y2

12．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是

164________．

解析：设直线方程为y－1＝k(x－2)，

与双曲线方程联立得(1＋4k)x＋(－16k＋8k)x＋16k－16k－12＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

16k－8k1

则x1＋x24，解得k＝－，

1＋4k2所以直线方程为x＋2y－4＝0. 答案： x＋2y－4＝0

x2y2

13.如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在

ab椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．

解析： ∵△POF2是面积为的正三角形， 12

∴csin 60°＝， 2∴c＝4， ∴P(1，3)，

13＋＝1，2∴ab解之得b＝2a2＝b2＋4，答案： 214．已知抛物线y＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2的最小值是________．

2解析：显然x1，x2≥0，又y21＋y2＝4(x1＋x2)≥8x1x2， 2

当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32. 答案：

圆锥曲线综合练习题篇八：圆锥曲线综合练习题

圆锥曲线综合测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知抛物线y2px(p0)上存在关于直线xy1对称的相异两点，则实数P的取值范围为

（A）(

2,0) 3

（B）(0,)

（C）(

3,0) 2

（D）(0,)

x2y2

（2）过双曲线221(a0,b0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、

ab

N(均在第一象限内)，若FM4MN，则双曲线的离心率为

（A）

5 4

（B）

5 3

（C）

3 5

（D）

4 5

（3）已知曲线f(x)xxx3在点(1,f(1))处的切线恰好与抛物线y2px

(p0)相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的线段长度为

（A）4

（B）

1 4

（C）8 （D）4

（4）已知等边三角形ABC的边长为4，点P在其内部及边界上运动，若P到顶点A的距离与其到边BC的距离相等，则PBC面积的最大值是

（A

）

（B

）24 （C

）

（D

）12

（5）已知A、B、

C三点在曲线y为

（A）3

（B）

1，m(1m4)，4，当ABC的面积最大时，m的值

9 4

（C）

5 2

（D）

3 2

x2y2

1的焦点是F1、F2，若果椭圆上一点P满足PF1PF，则下面结论正确的是（6）已知椭圆

2516

（A）P点有两个

（C）P点不一定存在

（B）P点有四个

（D）P点一定不存在

（7）定长为3的线段AB的两个端点在抛物线yx上移动. 记线段AB的中点为M，则点M到y轴的最短距离为

（A）

5 4

（B）

9 4

（C）

2 5

（D）

4 5

x2y2

1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P点在第一（8）点P是椭圆

2516

象限时，P点的纵坐标为

（A）

8 3

（B）

5 8

（C）

3 8

（D）

8 5

（9）已知抛物线 C的方程为x是

（A）(,1)(1,)

y，过点A(0,1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围2

) 22

（B

）(,

（C

）(,) （D

）(,)

（10

）已知点F

1(F2，动点P满足|PF2||PF1|2，当点P的纵坐标是是

时，点P到坐标原点的距离2

（A

）

（B）

3 2

（C

（D）2

（11）已知点P是抛物线y4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x2y100的距离为d2，则

d1d2的最小值是

（A）5

（B）4

（C

（D）

11 5

（12）设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐



标原点，若BP=2PA，且OQAB1，则点P的轨迹方程是：

y1(x0,y0) 2322

（B）3xy1(x0,y0)

2322

（C）x3y1(x0,y0)

2322

（D）x3y1(x0,y0)

（A）3x2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

（13）已知抛物线y2px(p0)及定点A(a,b)，B(a,0)，ab0，b2pa，M是抛物线上的点. 设直线当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为__________ AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，

x0x222

（14）已知椭圆C:y1的两焦点为F1、F2，P(x0,y0)满足y0≤1，|PF1||PF2|的取值范围为__________

（15）已知抛物线y4px(p0)准线与x轴交于点M，过点M作直线l交抛物线于不同的两点A、B.直线l的斜率

,，则当0p1时，依次为p,p,p,…时，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1,N2,N3…

111

__________

|N1N2l|N2N3||NN|1011

x22

（16）以椭圆2y1(a1)的短轴端点B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，若这样的三角形有

且只有一个，则实数a的取值范围为__________

三、解答题

（17）(本小题共10分)

如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且



(PFPQ)(PFPQ)0

(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；



(2)过点F的直线：交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知NA=1AF，NB2BF，求证l2为定值.

（18）(本小题共12分)

已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录

⑴求C1、2的标准方程；



⑵请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N,且满足OMON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

（19）(本小题共12分)

已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy0的距离为 3. (1)求椭圆的方程；

(2)设直线ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N，当|AM||AN|时，求实数m的取值范围. （20）(本小题满分12分)

过点T(1,0)作直线l与曲线N:yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由. （21）(本小题满分12分)

已知一条曲线C在y轴右边，

C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程；



(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任意一条直线，都有FAFB0？若存在. 求

出m的取值范围；若不存在.，请说明理由. （22）(本小题满分12分)

已知动圆过定点P(1,0)且与定直线l:x1相切，点C在直线l上. (1)求动圆圆心M的轨迹方程；

(2)设过点P，且斜率为M相交于A、B两点.

(i)问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； (ii)当ABC为钝角三角形时，求点C的纵坐标的取值范围.

高二年级寒假数学作业答案（综合）

一、选择题

二、填空题

2pa

（13）(a,)

三、解答题

（14）[2,

p3(1p20)

（15）

2(1p2)2

（16）



（17）【答案】(1)由(PFPQ)(PFPQ)0得PQPF,所以动点P的轨迹是抛物线，以线段FM的中点为原点O,

以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为x4y.



NA1AF

(2)由已知NA=1AF，NB2BF，得12

0，于是=①

2BFNB

NAAA1AF

过A,B两点分别做直线l的垂线，垂足分别为A

1,B1,

则有==②

NBBB1BF

由①②得，120

（18）【答案】(1)设抛物线C2的方程为y2px(p0)，则有2p(x0)，据此验证可知点(3,4)在

抛物线上，易求C2的方程为y4x

2x2y2a4

代入得2设椭圆C1的方程为221(ab0)，把点( 2abb1

y21. 故C1的方程为4



(2)假设存在这样的直线l的斜率为零时，直线l与C1的交点为C1的左顶点和右顶点，OMON不成立，故不妨

设直线l的直线为x1my,M(x1,y1),N(x2,y2)，

x1my

32m22

(m4)y2my30,由x2，得① yy,yy1212222

m4m4y1

4

44m2

x1x2(1my1)(1my2)2②

m4



x1x2y1y20 由OMON知，OMON=0，

m所以假设成立，直线l为y2x2或y2x2

x22

（19）【答案】(1)依题意设椭圆方程为2y1(a

1)，则右焦点为F.

3，解得a3，所以椭圆方程为y21.

(2)设P(xp,yp)、M(x1,y1)、N(x2,y2)，P为弦MN的中点，

ykxm222

(3k1)x6kmx3(m1)0 由x2

y13

则由>0,得m3k1① 由根与系数的关系可知x1x2从而kAP

x1x23km6kmm

，则 x,ypp

3k2123k213k21

yp1xp

m3k21m3k211

，因为AMANAPMN，则

3mk3mkk

即2m3k1②

把②代入①，得m2m，解得0m2，由②k所以m的取值范围是(,2).

（20）【答案】依题意，直线l的斜率存在，且不等于0

2m11

0，解得m 32

yk(x1)2222

yk(x1），k0,A(x,y)B(x,y)设直线的方程为，消去y,得kx(2k1)xk0① 1122由2

yx

得(2k1)4k0,得0k

1② 4

2k212k211

,x1x21，则线段AB的中点为(,) 由①式根与系数的关系，得x1x222

k2k2k1112k2(x)③ 线段AB的垂直平分线方程为y2kk2k2

假设存在满足题意的点E，令③式中y0，得x

1111

，则E(,0) 22

2k22k2

由△ABE为正三角形，则点E(

d

到直线的距离,0)AB

2k2



ABd

22k2k2k解得k

x轴上存在一点E(x0,0)，使得△ABE是等边三角形，此时x0. 133

（x,y)是曲线C上的任意一点.那么P（x,y)满

足（21）【答案】(1)设P

y24x(x0)

x1(x0)，化简得

(2)设经过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线l的方程为xtym，由

圆锥曲线综合练习题篇九：圆锥曲线综合练习题(含答案)

圆锥曲线综合练习题

一、选择题

1、在抛物线y=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为

A.0.5 B.1 C. 2 D. 4 答案：C

2、)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于

A．

513

1213

B． C． D．

答案：B 3、设F1，F2是椭圆



1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:PF24:3，

则PF1F2的面积为（）

A．4 B．6 C．22 D．42 答案：B

4、从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是

[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是

A．[答案：A

53,32]

B．[

] C．[

] D．[

]

5、已知点A, F分别是椭圆



点B为椭圆短轴的一个1(a>b>0)的右顶点和左焦点，

端点，若BFBA=0，则椭圆的离心率e为（）

(5－1) B.

(3－1) C.

答案：A

6、已知双曲线C1:



1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶

点在原点，它的准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足

PF2F1F2，则双曲线C1的离心率为

A．2 答案：B 7、椭圆

B． C．

2 3

D．2

1(ab0)的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点依次为O、

F、A、H，则1A．2

|FA||OH|

的最大值为（） 1B．

1C．

D．1

答案：C 8、已知双曲线



1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象限

的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tanAF1F2程为( )

A．

5x12

，tanAF2F12，则双曲线方



1 B．

12x5

3y1 C．3x

12y5

1 D．



5y12

1

答案：B

9、若双曲线x2ky21的离心率是2，则实数k的值是（） A.3 B. 

C. 3 D.

答案：B 10、设x,

yR

，且2y是1x和1x的等比中项，则动点x,y的轨迹为除去x轴上点的

（）

A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆答案：D

11、已知P为抛物线y

x上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6,

172

)，

则PAPM的最小值是（） A 8 B

192

C 10 D

212

答案：B

12、已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，

则|PA|+d的最小值为（）

A．4 B．25 C．6 D．823

答案：B

13、椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，若A1BA2120，则椭圆的离心率为

A．答案：B 14、设双曲线

B．

C．

3 2

1D．2



且它的一条准线与抛物线y24x1(a0,b0)的离心率为3，

的准线重合，则此双曲线的方程为（） A．



1 B．



2y3

1 C．



1 D．



1

答案：A

15、已知椭圆



1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的

AB（）垂直平分线交x轴于N，则NF1

A．

答案：B

16、已知AB是椭圆

1B．

C．

31D．



=1的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，

分别与椭圆的上半部分相交于C、D、E、G四点，设F是椭圆的左焦点，则FCFDFEFG的值是（）

A．15 答案：D

B．16 C．18 D．20

17、过抛物线y4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）

A．10 B．8 C．6 D．4 答案：B

18、若抛物线y2px的焦点与椭圆 A．－2 答案：D

B．2



1的右焦点重合，则p的值为（）

C．－4 D．4

,y)19、过抛物线y4x的焦点F作直线l交抛物线于P(x1,y1), Q(x22两点，若

x1x26，则|PQ|

A.5 答案：C

B. 6 xa

C.8

D.10

20、已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆

tanPF1F2





若PF1PF20，1ab0上的一点，

，则此椭圆的离心率为（）

121A． B． C D．2333答案：D

21、如图2所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的

双曲线的离心率为（）

A．

51

B．51 D．3+1

C．31

答案：D

22、两个正数a、b的等差中项是的离心率为

A．

，

一个等比中项是且ab,则双曲线



1

．

C．

解析：由已知得ab9,ab20,aba5,b

4，c



，

e，选D。

23、由曲线yx和直线x=1围成图形的面积是

A．3

B．

（）

C． D．

答案：C

24、椭圆xmy1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（） 1

A．4答案：A

25、过抛物线y=x2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M,N,则直线MN过

4定点（） A、（0，1） B、（1，0） C、（0，-1） D、（-1，0）答案：A

B． C． 2 D．4

二、填空题

1、已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)

2、已知动圆P与定圆C：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L：x=1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是：。答案：y=－8x 3、已知双曲线



1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支

上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为 . 答案：1＜e≤2 4、已知椭圆



右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，1的左、

∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e= . 答案：－1 5、若双曲线答案：2 6、已知双曲线



1a0的一条渐近线方程为3x2y0，则a=__________.



1(a,bR)的离心率e[2,2]，则一条渐近线与实轴所构成



的角的取值范围是_________．

ππ

答案：[

43解析：依题意有



2，∴2

4，即2

aba

4，∴1



3，得

1，∴







7、已知两点A(1，0)，B(b，0)，若抛物线y4x上存在点C使ABC为等边三角形，则b

＝_________ . 1答案：5或－

8、长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C（x，y）满足AC2CB，

则动点C的轨迹方程是 . 答案：x

1

9、设抛物线x12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，

圆锥曲线综合练习题篇十：圆锥曲线综合测试题

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第二章：圆锥曲线与方程综合测试题

一、选择题（本题每小题5分，共50分） 1．已知F是抛物线y＝

P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（） x的焦点，

A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－

116

C．x2＝y－

(x1)y

x4

1214

D．x2＝2y－2

2．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：

A．6

B．4



，则ACBC （）

D．不能确定

C．2

3．抛物线y22px与直线axy40交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），

设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（）A．7 B．35 C．6 D．5 4．双曲线



1(a,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为

AB，若AF1B90，则双曲线的离心率为

A．

（） 2)

(2

2) B．21 C．21

D．

(2

5．若椭圆

1(ab0)和双曲线



1(m,n0)有相同的焦点F1、F2，P是

两曲线的交点，则PF1PF2的值是（） A．b

B． xa

am C． bn D． am

6．直线l是双曲线

以原点为圆心且过双曲线的顶点的1(a0,b0)的右准线，

（）

圆，被直线l分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是

A．2

B．2 x

C．

D．5

7．直线 1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积

169

等于3，这样的点P共有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

43

1与椭圆

8．曲线y4x2(x1)的长度是

A．

（）

B．

C．

D．3

（）

9．方程xy

(x1)(y1)所表示的曲线是

D．不能确定

A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆

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10．给出下列结论,其中正确的是（）

A．渐近线方程为y

xa0,b0的双曲线的标准方程一定是



1

B．抛物线y

x的准线方程是x C．等轴双曲线的离心率是2

D．椭圆

1m0,n0的焦点坐标是F1



mn,0,F2

mn,0



二、填空题（本题每小题5分，共25分）

1

11．如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量DEBC,那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线

的离心率是 . 12．已知椭圆



1与双曲线



m,n,p,qR有共同的焦点F1、F2，P是



椭圆和双曲线的一个交点，则PF1PF2

13．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率

en(

)(nN)，则所有这些椭圆的长轴长之和为 .

14．沿向量a =(m, n)平移椭圆

y1,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心

在直线2x－y+6=0上, 则m= 、n= .

15．已知曲线y2ax与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是45，则实数a的值是

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个

顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ=λAB？

17．（本小题满分12分）已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x

轴的距离

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差都是2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x－4)+B(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数.

18．已知圆锥曲线C经过定点P（3，23），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且 |AB|=35，求圆锥曲线C和直线的方程。

29．（本小题满分12分）如图所示，已知圆C:(x1)2y28,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM2AP,NPAM0,点N轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FGFH，求的取值范围.

20．（本小题满分13分）已知定点F(1,0)，动点P（异于原点）在y轴上运动，连接PF，



过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且PMPF0，|PN||PM|.

（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若

OAOB4且|AB|l的斜率k的取值范围．

22．（本小题满分14分）如图,在Rt△ABC中，∠CAB=90，AB=2，AC=



. 一曲线E

过点

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C，动点P在曲线E上运动，且保持PAPB的值不变，直线m⊥AB于O，AO=BO. （1）建立适当的坐标系,求曲线E的方程; （2）设D为直线m上一点,ODAC,过点D引

直线l交曲线E于M、N两点,且保持直线l与 AB成45角,求四边形MANB的面积.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）：

(1).A (2). B (3).A (4).C (5). D (6).A (7).B (8).A (9).A (10).C 二、填空题（每小题5分，共25分） (11).

1 (12).m-p (13). 4 (14). －5、－4 (15)2

三、解答题（共74分，按步骤得分）

16. 解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系则A（2，0），设所求椭圆的方程为：



2

=1(0<b

<2),

由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由AC·BC=0得AC⊥BC∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，

∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1）， ∵C点在椭圆上 ∴



=1,∴b=

,所求的椭圆方程为



3y4

=1 ……………5分

（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线

QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,

yk(x1)1

由2 得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*） ……………8分 2

x3y40

∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=

6k1

13k

,设P

6k1

13k

, 同理xQ=

6k1

13k

kPQ=

yPyQxPxQ



k(xPxQ)2k

xPxQ

k(

3k6k1

)2k22113k13k………10分 22

33k6k13k6k1

22

13k13k

3k6k1

而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0） ∴kAB=

∴kPQ=kAB，∴AB与PQ共线，且AB≠0,即存在实数λ，使PQ=λAB. ……12分 17. 解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则x2(y2)2-|y|=2，

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整理x2(y2)2=|y|+2，

所求曲线的方程. C1：当y0时， x=8y；

C2：当y<0时，x=0. ……………5分（2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A、B不同时为零，

（数形结合）当B=0时，A0，直线x=4与曲线有1个的交点； ……………7分当B0时，令k=-AB

，则y=k(x-4)+2，与x=8y联列：x-8kx+32k-16=0

当=0时，k=1，即A=-B时，直线与C1和C2各一个交点；当k>1时，当

<-1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；

<k<1时，-1<当k

时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；

时，直线与C1和C2各一个交点. ……………10分

时，

-

直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A0；

直线与曲线有2个的交点, A=-B和直线与曲线有3个的交点, -1<

-12

；

<-和<-1. ……………12分

PFd

44

1…………(1分) ∴

18．解：设圆锥曲线C的离心率为e, P到的距离为d，则e=圆锥曲线C是抛物线………………………（2分） ∵

1 ∴P=2

∴抛物线方程为y2=4x………………………………(3分) 设的方程为y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2)

y=2x+b

=4x 消去y，整理得：4x+4(b－1)x+b=0………………………………(4分) 则1+x2=－(b－1) x1x2=

222

…………………………(5分)

∴|AB|=

(1k)[(x1x2)4x1x2]

5(12b)………………………（6分）

又∵|AB|=35

∴1－2b=9, ∴b=－4 …………………………(7分)

故直线的方程为y=2x－4……………………………………(8分) 综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线的方程为y=2x－4 19．（本小题满分12分）解：（1）AM2AP,NPAM0.

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分又|CN||NM|22,|CN||AN|222.

本文来源：http://www.guakaob.com/zigeleikaoshi/129312.html

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