2015年高中数学联赛高3年级组。

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2015年高中数学联赛高3年级组。(一)
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）

1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是

A．

5

6

B．

2 3

C．

1 2

D．

1 3

，则

2．若是第四象限角，且sin



2

cos



2

2sin



2

cos



2

是 2

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3. 已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP2OA+BA，则

A．点P不在直线AB上 B．点P在线段AB上

C．点P在线段AB的延长线上 D．点P在线段AB的反向延长线上

4．设m,nR，若直线(m1)x(n1)y40与圆(x2)2(y2)24相切，则mn的取值范围是

A.(0,13] B.[13,) C. [222,) D.(0,222] 5. 已知正方体C1

的棱长为C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为

A．18

B．92

C．9

D．62



6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x3)f(x),且在区间[0,

3

]上是增函数,若方程2

f(x)m(m0)在区间6,6上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4

A．6 B． 6 C．8 D．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）

1

ln,x0x

7．已知f(x)，则不等式f(x)1的解集为 ▲ .

1,x0x

8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人.

22

c2，则cosC的最小值为. 9．在ABC中，角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c，若ab2

10．给出下列四个命题：

（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交； （2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；

（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直； （4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．

其中真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ．．．

11．若动点M(x0,y0)在直线xy20上运动，且满足(x02)2(y02)2≤8，则x02y02的取值范围是

11

12．设函数fxx，A0为坐标原点，An为函数yfx图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向

x12

x

量an



n

k1

n5

Ak1Ak，向量i(1,0)，设n为向量an与向量i的夹角，满足tank的最大整数n是

3k1

．

。

答 题 卡

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）

7． 8． 9． 10． 11． 12．

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sin

xxx

cos2． 222

（1）求函数f(x)的单调减区间；

（2）该函数的图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的变换得到?

（3）已知

62π

f()f()的值． ，且，求,5663【2015年高中数学联赛高3年级组。】

菱形ABCD中，A(1,2)，(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. （1）若向量(3,7)，求点C的坐标； （2）当点D运动时，求点P的轨迹.

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE ＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE. （1）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由； （2）求点D到平面ACE的距离.

C

A

B

E

2015年高中数学联赛高3年级组。(二)
2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分

1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足costan，则1cos4的值为sin

3.已知复数数列{zn}满足z11,zn1zn1ni(n1,2,3,)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB2,AD1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含

点B）的动点Q满足DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为

5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)(x3y6)(3xy6)0所对应的平面区域的面积为

7.设为正实数，若存在a,b(ab2)，使得sinasinb2，则的取值范围是

8.对四位数abcd(1a9,0b,c,d9)，若ab,bc,cd，则称abcd为P类数，若 ab,bc,cd，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则 N(P)N(Q)的值为

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a4b2c,4a2b4c，求c的最小值.

10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得

31aa1ij424,2,,,1,3，求a1a2a3a4的值. ij28

x2

11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y21的左、右焦点，2

设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.

2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）

一、（本题满分40分）设a1,a2,,an(n2)是实数，证明：可以选取1,2,,n1,1，使n2得aiiai(n1)ai. i1i1i1

二、（本题满分40分）设SA1,A2,,An，其中A1,A2,,An是n个互不相同的有限集合

（n2），满足对任意的Ai,AjS，均有AiAjS，若kminAi2.证明：存在xAi，1ini1nn2n2使得x属于A1,A2,,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X的元素个数）. k上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BC

BK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC2FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）

四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：

(kn)!对任意正整数n，2(k1)n1不整除.

n!

2015年高中数学联赛高3年级组。(三)
2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组) word版含答案

2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)

(时间：8月30日上午8：30-11：30)

一、填空题

lna)f(ln1、已知函数f(x)ln(a2x2ax)1 (a0)，则f(

1

)____________. a

2、A,B两点分别在抛物线y26x和⊙C:(x2)2y21上，则AB的取值范围是____________.

3、若tan3tanβ0





，则的最大值为____________. 2

4、已知△ABC等腰直角三角形，其中∠C为直角，AC=BC=1，过点B作平面ABC的垂线DB，使得DB=1，在DA、DC上分别取点E、F，则△BEF周长的最小值为____________. 5、已知函数f(x)x33x，对任意的m2,2，f(mx8)f(2x)0恒成立，则正．实数．．x的取值范围为____________.

6、已知向量,,满足||:||:||2:k:3(kN*)，且2()，若为,的夹角，则cos的值为____________.

7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.

8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 二、解答题

9.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，向量

psinAsinC,sinB，向量q(ac,ba)，且满足pq.

(Ⅰ)求△ABC的内角C的值；

(Ⅱ)若c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sinC，求△ABC的面积.

2

10.（本小题满分14分）已知数列an满足：a12,an1an2an.

(1)求证：数列lg(an1)是等比数列，并求an的通项公式; (2)若bn

11

，且数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn1. 

anan2

x

11.(本小题满分14分)设f(x)eaxa.（e是自然对数的底数） (Ⅰ)若f(x)0对一切x1恒成立，求a的取值范围；

20151008

)e2. (Ⅱ)求证：(

2016

1

12.(本小题满分14分)已知：如图，两圆交于A、B两点，CD为他们的一条外公切线，切点分别为C、D.过A任意做一条直线分别交两圆于E、F，EC交FD于P. 求证：PB平分∠EBF.

13.(本小题满分15分)设正数x,y满足x3y3xy，求使x2λy21恒成立的实数的最大值.

1x2

y21及点P(1,)，过点P作直线l与椭圆C交于14.(本小题满分15分)已知椭圆C:

22

A、B两点，过A、B两点分别作C的切线交于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)求△ABC的面积的最小值.

2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)答案

1.【解析】

f(x)f(x)a2x2ax)a2x2ax)2ln(1a2x2a2x2)22.

2.【解析】由于ABAC1，则只需要考虑AC的范围.

AC(x2)2y2(x2)26xx22x4(x1)23,又x0,故ACmin2，

故的取值范围为1，. 3.【解析】tanα

2

tantan2tan

2

1tantan13tan

21

3tantan



3tan 36

ππ

0βα，0α.

22αβ



6

.

5.【解析】f(x)x3x为奇函数且为增函数

3

f(mx8)f(2x)0

等价于f(mx8)f(2)f(2) 即mx82

x

xx

即mx280对任意的m2,2成立

x

x

0x22x280即，所以，即0<x<2

x

0x42x280

k=2，所以cosα的值为.

6

7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为

66，故容器棱长的最小值为42342. 33

8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率

11

；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；如果23

1

只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；以此类推，可知

4

为

将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为法2：直接从10个小球入手分类讨论.【2015年高中数学联赛高3年级组。】

9.【解析】(Ⅰ)由题意pq，所以，acsinAsinCbasinB0. 由正弦定理，可得acacbab0. 整理得acbab.

2

2

2

1； 6

πa2b2c21

，又C0，，所以，C ……6分 由余弦定理可得，cosC

32ab2

(Ⅱ)由2sin2Asin2BCsinC可得，4sinAcosAsinBπAsinB

A. 整理得，4sinAcosAsinBAsinBA2sinBcosA.

当cosA0时，A

ππ23

，此时，b2cot. 233

22

当cosA0时，上式即为sinB2sinA，有正弦定理可得b=2a，又abab4，解

之得，a

24，b



332

2

10.【解析】(1)由已知得an1an2an，an11an1，

因为a12，所以an11，两边取对数得lg

1an12lg1an， 故lgan1为以lg3为首项，2为公比的等比数列， 即lgan12n1lg3，即an32

n1

1.

……5分

上单调递增，h(x)在(-1,0)单调递减. 所以h(x)在0，

所以h(x)h(0)1x1，由此得：a1.

2015年高中数学联赛高3年级组。(四)
2015年全国高中数学联赛模拟试卷三

2015年全国高中数学联赛模拟试卷三

1．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10x)， f(20x)=f(20+x)， 则f(x)是( )

(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数

解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数； ∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴ 是奇函数．选C． 2．若实数x, y满足(x+5)2+(y12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

(D) 2

1

3． 如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+f(x)

x在该区间上的最大值是( )

1151 (A) 4+2+4 (B) 4－2+4 (C) 1－2+4 (D)以上答案都不

222对

1111解：g(x)= x+++3

x22x

2

3

331132．当且仅当x=即x=2时g(x)取得最小值． 422x

F E

4q－p33p3333

∴－2，2，p=－22，q=2+4．

2422

53333

由于2－1<2－2．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－2+4．故选B．

24．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案． 【解】

考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．

A

B C D

考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．

5．已知直线axbyc0中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.

设倾斜角为θ，则

tgθ=->0．不妨设a>0，则b<0．

(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3-2=7条；

(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条． 从而，符合要求的直线有7+36=43条．

6．在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )

(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37

解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心． ⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组； ⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B． 7．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.

解：从这10个数中取出3个偶数的方法有C5种，取出1个偶数，2个奇数的方法有C5

C5种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种．

8．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．

解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)．

青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号： □1□1□1□1□1

规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．

前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．

∴ 共有2+6×4=26种方法． 54

9．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=+的距离中的最小值是( )

35(A)

343411 (B) (C) (D) 170852030

2

3

1

|25x－15y+12||5(5x－3y+2)+2|解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．

534534∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．

10．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

1

解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972，

2即n为2×972的大于3的约数．

∴ ⑴ n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1时a<0．有一解； ⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n<3.．选C 11．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若ca等于AC边上的高h，则sin

C－A

2

C+A______.

2

解：2R(sinC－sinA)=csinA=2RsinCsinA，sinC－sinA=sinCsinA，

C－AC+AC－A11C+A

2cos=－[cos(C+A)－cos(C－A)]= －2sin2－2cos2+1]．

222222(sin

C－AC－AC+A2C+A)=1，但sin+cos>0，故1． 2222

11．已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样

的 n 的个数是___________.

解析： 6．首项为a为的连续k个正整数之【2015年高中数学联赛高3年级组。】

和 ．

由Sk≤2000，可得60≤k≤62．

当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；

当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952； 当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953． 于是，题中的n有6个．

x2y2

1上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到12．已知点 P 在双曲线

169

这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么， P 的横坐标是_____.

解析：

．记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率

, 右准线l

为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4, b=3, c=5,

为

. 如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a．从而，

|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，这不可能；故P在双曲线的左支，则|PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d．两式相加得2|PF2|=2a+2d．

又|PF2|=ed,从而ed=a+d．故

.P的横坐标

为．

13．设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．

(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；

(2)设P(1，1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．

11

解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P(x1，，Q(x2，，

x1x2

1111

R(x3，)．不妨设0<x1<x2<x3，则>．

x3x1x2x3

kPQ=

y2－y111

－kQR=－

x1x2x2x3x2－x1

11－x1x2x2x3

tan∠PQR=，从而∠PQR为钝角．即△PQR不可能是正三角形．

11+

x1x3x21

⑵ P(－1，－1)，设Q(x2，)，点P在直线y=x上．以P为圆心，|PQ|为半径作圆，此

x2

圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PQ|=|PR|，由圆与双曲线都是y=x对称，知Q与1

R关于y=x对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是R(x2x2)．

33

∴ PQ与y=x的夹角=30°，PQ所在直线的倾斜角=75°．tan75°=2+3．

31－

3

1+

PQ所在直线方程为y+1=(2+3)(x+1)，代入xy=1，解得Q(2－3，2+3)，于是R(2+3，2－3)．

积化和差与和差化积公式

1

sincos[sin()sin()].

21

cossin[sin()sin()].

21

coscos[cos()cos()].

21

sinsin[cos()cos()].

2

sinsin2sin

.

22

sin2cossin. sin

22

cos2coscos.cos

22

cos2sinsin. cos

22



cos



2015年高中数学联赛高3年级组。(五)
关于2015年全国高中数学联赛暨湖南省高中数学竞赛

关于2015年全国高中数学联赛暨湖南省高中数学竞赛

通 知

各市(州)教科院（所）、高中数学竞赛委员会：

按全国高中数学联赛组委会的通知，2015年全国高中数学联赛（下文简称“联赛”）将于9月13日（星期日）上午举行。根据全国组委会、省五项学科竞委会要求和我省高中数学教学、高校招生制度改革的实际情况，我省将继续组织2015年全国高中数学联赛和湖南省高中数学竞赛（下文简称“竞赛”）活动，现将有关事项通知如下：

一、关于“竞赛” 1．竞赛目的和命题立意

鉴于2015年“联赛”和高校招生制度作了较大幅度的调整，高中数学竞赛获奖等第事实上已经成为参与自主招生的准入资格，此次竞赛暨为参加“联赛”确定选手，又为优秀高中学生提供展示数学学科能力的舞台。“竞赛”命题坚持能力立意，并从高校自主招生命题中吸取营养。其中A卷不超越2015年高考数学命题范围，能力要求与“联赛”对接；B卷不超越2015年高中数学学业水平考试范围，重在对中学生数学学习潜能的考查。

2．竞赛时间和参加对象

竞赛时间为2015年6月27日（星期六）上午9：00—11：00，在校高中学生均可自愿报名参加。

3．报名与缴费

根据湖南省五项学科竞赛管理委员会和全国高中数学竞赛组织委员会规定，参赛学生每人交报名赛15元。（注：各市（州）高中数学竞赛委员会从所收费用中按每人提留8元作为赛事活动费用）。

4．竞赛办法及授奖方式

考场可设到县，由市（州）统一组织阅卷，选拔5%的优秀试卷随同获奖成绩册寄省高中数学竞赛委员会。省高中数学竞赛委员会将组织专家复评，根据复评成绩确定我省一、二、三等奖的名单和参加“联赛”的具体人选。

二、关于“联赛”

1．6月15—6月20日，各市（州）高中数学竞赛委员会派专人到省高中数学竞赛委员会领取湖南省高中数学竞赛试卷，6月27日上午9：00—11：00考试。

2．7月15日以前将5%的优秀试卷随同获奖成绩册寄省高中数学竞赛委员会，7月30日前确定“竞赛”获奖等第(等第的确定以学生的比赛成绩排名为唯一依据，不照顾到学校。评奖比例：一等奖1%，二等奖2%，三等奖3%)和参加“联赛”人选。

3．联赛时间（北京时间）

全国高中数学联赛（一试）：9月13日（星期日）8：00—9：20；全国高中数学联赛加试（二试）：9月13日9：40—12：10。

湖南省高中数学竞赛委员会

2015年4月16日

附件：

2015年湖南省高中数学竞赛报名登记表

此表务必于5月20日前寄欧阳新龙老师（邮编：410005）

本文来源：http://www.guakaob.com/zuowendaquan/646012.html