山西省高三联考2017数学

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 山西省高三联考2017数学

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  时间120分钟总分150分

  命题人: 审题人:

  一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分).

  1.已知集合 , 为虚数单位,则下列选项正确的是

  A. B. C. D.

  2.已知集合 , ,则 为

  A.(1,2)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.[1,+∞)

  3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

  A.①③ B.②④

  C.①② D.③④

  4.已知 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递增,

  若实数 满足 ,则 的取值范围是

  A. B. C. D.

  5.某流程图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数

  A. B.

  C. D.

  6.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10=

  A.4 B.5 C.6 D.7

  7.下列命题中是假命题的是

  A. ,使函数 是偶函数;

  B. ,使得 ;山西省高三联考2017数学

  C. ,使 是幂函数,且在 上递减;

  D. .

  8.若函数 的图象

  如图所示,则

  A. B.

  C. D.

  9.已知函数 的一条对称轴为直线 ,则要得到函数 的图象,只需把函数 的图象

  A.沿 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

  B.沿 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

  C.沿 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

  D.沿 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

  10.若直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4,则 的最小值为( )

  A . B. C. D.

  11.若点P是曲线 上任意一点,则点P到直线 的最小距离为

  A.1 B. C. D.

  12.已知函数 ,其中 ,若对 ,

  ,使得 成立,则实数 的最小值为

  A. B. C.6 D.8

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置).

  13.计算 __ ▲▲▲ .

  14.已知 ,设函数 ,

  则 __ ▲▲▲ .

  15.若函数 的定义域为 ,其值域为 ,则这样的函数 有__ ▲▲▲ .个.(用数字作答)

  16.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 上有10个不同的点 …… ,则 =__ ▲▲▲ .

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)

  17.(本小题满分12分)已知向量 ,函数 .

  (1)若 , ,求 的值;

  (2)在 中,角 的对边分别是 ,且满足 ,求角B的取值范围.

  18.(本小题满分12分)在一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下定义域为 的函数:

  ,

  (1)现在从盒子中任意取两张卡片,记事件A为“这两张卡片上函数相加,所得新函数是奇函数”,求事件A的概率;

  (2)从盒中不放回逐一抽取卡片,若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取,否则继续进行,记停止时抽取次数为 ,写出 的分布列,并求其数学期望 .

  19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.

  (1)求证:BE∥平面PDF;

  (2)求证:平面PDF⊥平面PAB;

  (3)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小.

  20.(本小题满分12分)山西省高三联考2017数学

  在平面直角坐标系 中,椭圆 的离心率 ,且点 在椭圆 上.

  (1)求椭圆 的方程;

  (2)若点 、 都在椭圆 上,且 中点 在线段 (不包括端点)上.求 面积的最大值.

  21.(本小题满分12分)

  已知函数 .

  (1)若曲线 过点 ,求曲线 在点 处的切线方程;

  (2)求函数 在区间 上的最大值;

  (3)若函数 有两个不同的零点 ,求证:

  请考生在第22~24三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.

  22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

  如图,AB为圆 的直径,P为圆 外一点,过P点作PC AB于C,交圆 于D点,PA交圆 于E点,BE交PC于F点.

  (1)求证: P= ABE;

  (2)求证:CD2=CF•CP.

  23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

  在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的方程为 ( 为参数),曲线C2的极坐标方程为: ,若曲线C1与C2相交于A、B两点.

  (1)求|AB|的值;

  (2)求点 到A、B两点的距离之积.

  24.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲

  已知函数 .

  (1)若 ,求不等式 的解集;

  (2)若方程 有三个不同的解,求 的取值范围.

  2017届高三数学五校联考(理科数学)

  参考答案

  一.选择:(12×5=60)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  答案 C A A C A B D D A C B D

  二:填空(4×5=20)

  13. 2 14 5 15. 243 16. 180

  三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

  17. 解:(Ⅰ)

  = ………2分

  ,又 ……4分

  ………6分

  (Ⅱ)由 得 …………………8分

  ………10分

  ………12分

  18. 解:(1)由题意得 是奇函数, 为偶函数, 为非奇非偶函数,所以P(A)= ………………(4分)

  (2)由题意可知, 的所有可能取值为1,2,3,4

  P( )= ,P( 2)= ,P( )= = ,

  P( )= ………………(8分)山西省高三联考2017数学

  所以 的分布列为:

  1 2 3 4

  P

  ………………(10分

  所以E =1 + +3 +4 = 。………………(12分)

  19. 解:(Ⅰ)证明:取PD中点为M,连ME,MF.

  ∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线,

  ∴ME平行且等于 .∵F是AB中点且ABCD是菱形,∴AB平行且等于CD,∴ME平行且等于 .

  ∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形.从而BE∥MF.

  ∵BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF,

  ∴BE∥平面PDF.……………………(4分)

  (Ⅱ)证明:∵PA⊥平面ABCD,DF⊂平面ABCD,

  ∴DF⊥PA.连接BD,

  ∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△DAB为正三角形.

  ∵F是AB的中点,∴DF⊥AB.

  ∵PA∩AB=A,∴DF⊥平面PAB.

  ∵DF⊂平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAB.……………………(8分)

  (Ⅲ)解:建立如图所示的坐标系,则P(0,0,1),C( ,3,0),D(0,2,0),

  F( , ,0)由(Ⅱ)知DF⊥平面PAB,

  ∴ 是平面PAB的一个法向量,设平面PCD的一个法向量为

  由 ,且由

  在以上二式中令 ,则得x=﹣1, ,

  ∴ .设平面PAB与

  平面PCD所成锐角为θ,则cosθ= =

  故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°.……………………(12分)

  20. 解:(1)由题意得: ………2分

  所以椭圆C的方程为 ………4分

  (2)①法一、设 ,直线AB的斜率为

  则 ………6分

  又直线 : , 在线段 上, 所以 所以 ………8分

  法二、设 ,直线AB的方程为 ,

  则

  由题意, 所以 ………6分

  又直线 : , 在线段 上,

  所以 ,所以 ………8分

  法三、设 ,直线AB的方程为

  则

  由题意, 所以 ………6分

  又直线 : , 在线段 上,

  所以 在直线 上

  解 得: ………8分

  设直线AB的方程为 ,

  则 ,所以 ………9分

  所以 ,原点到直线的距离 …10分

  当且仅当 时,等号成立.,所以 面积的最大值 …12分

  21. 解:(1)因为点P(1,﹣1)在曲线y=f(x)上,所以﹣m=﹣1,解得m=1.

  因为f′(x)= ﹣1=0,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=﹣1.……(3分)

  (2)因为f′(x)= ﹣m= .

  ①当m≤0时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,

  则f(x)max=f(e)=1﹣me.

  ②当 ≥e,即0<m≤ 时,x∈(1,e),f′(x)>0,

  所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1﹣me.

  ③当1< <e,即 <m<1时,

  函数f(x)在(1, )上单调递增,在( ,e)上单调递减,

  则f(x)max=f( )=﹣lnm﹣1.

  ④当 ≤1,即m≥1时,x∈(1,e),f′(x)<0,

  函数f(x)在(1,e)上单调递减,则f(x)max=f(1)=﹣m.

  综上,①当m≤ 时,f(x)max=1﹣me;

  ②当 <m<1时,f(x)max=﹣lnm﹣1;山西省高三联考2017数学

  ③当m≥1时,f(x)max=﹣m.……(8分)(分类时,每个1分,综上所述1分)

  (3)不妨设x1>x2>0.

  因为f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,

  可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1﹣lnx2=m(x1﹣x2).

  要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.

  因为m= ,所以即证明 > ,

  即ln > .令 =t,则t>1,于是lnt> .

  令 (t)=lnt﹣ (t>1),则 ′(t)= ﹣ = >0.

  故函数 (t)在(1,+∞)上是增函数,

  所以 (t)> (1)=0,即lnt> 成立.所以原不等式成立.…(12分)

  请考生在第22~24三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.

  22、证明:(Ⅰ) ,所以在 中, 在 中, 所以 ……………………………….5分

  (Ⅱ)在 中, ,由①得 ∽ ,∴ ,

  ∴ ,所以CD2=CF•CP。………………….10分

  23. 解:(Ⅰ) ,则 的参数方程为:

  为参数),代入 得 ,

  …………6分

  (Ⅱ) . ……….10分

  24. 解:(Ⅰ) 时, ,……(2分)

  ∴当 时, 不合题意;……(3分)

  当 时, ,解得 ;……(4分)

  当 时, 符合题意.……(5分)

  综上, 的解集为 .……(6分)

  (Ⅱ)设 , 的图象和 的图象如图:……(8分)

  易知 的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与 的图象始终有3个交点,从而 .……(10分)

本文来源:http://www.guakaob.com/gaozhong/731543.html

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