手算开根式

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手算开根式篇一
《手算开根号》

笔算开根号的方法1、个位以上数字为奇数时如：√161.12345把奇数单独列出来例子中取31=1^2+0即第一位数为1余下应取接下来的两位作被除数61（除法上取接下来的一位）除数为第一位数*20+第二位可能的商……即20*1+x商为x商*除数<=被除数……本题取2……即2*22=44<61第二位数为商2（个位数算完了加一个小数点）再次取接下来的两位被除数为（61-44）*100+12=1712除数为12*20+x=24x商为6…………商*除数为246*6=1476……余236第三位数为6被除数再取接下来的两位，为236*100+34=23634除数为126*20+x商为9……9*2529=22761……余873第四位数为9被除数为87350除数为25380+x商3……3*25383=76149……余11201第五位数为3被除数为1120100除数为253860+x商为4……253864*4=1015456……余103644第六位取4……即本题结果为12.6934用计算器求得√161.12345=12.693441满足2.个位以上为偶数的最先取两位如√345634=5^2+9第一位取5被除数为956除数为100+x商取8……108*8=864……余92第二位取8（个位数算完加小数点）被除数为9200除数为1160+x商为7……1167*7=8169……余1031第三位取7……即本题结果为58.7计算器求得√3456=58.787754

手算开根式篇二
《开根号手算方法》

長除式演算法求開根號

以下這個演算法是根據：

(10 a + b )2 = 100 a2 + 20ab + b2= 100 a2 + (20 × a + b) × b 而生的。

給y= (10 a + b )2，我們想求得a；b, 在此我們先猜測a再由式子

y - 100 a2 ＝(20 × a + b) × b

去求得b。

長除式演算法：

1. 將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,

如98765.432內 小數點前的65是一組, 87是一組, 9是一組, 小數點後的43是一組, 之 後是單獨一個2, 要補一個0 而得20是一組 。 也就是9,87,65.43,20。 以

準確至2位小數為例子:

將 1 04.85 73 得四組, 順序為 1' 04. 85' 73'。

2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數） 記下 。

3. 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。

4. 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一 步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積。 5. 重覆第2步，直到找到答案 。

6. 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止 。

範例：求 (529)1/2＝？

解法：將529分為兩組，分別為 5，29。(第1步)

先猜a 為2，因為2的平方為4比5小。(第2步) 529 ＝ (20 + b)2＝400 + 2 × 20 × b ＋b2 529 – 400 = ( 20 × 2 + b ) × b (第3、4步) 129 ＝( 40 + b ) × b 故b = 3 。 因此 (529)1/2 = 23 4bb

範例：求 (1225)1/2＝？

25,294

129

2b

5,294

129

解法：將1225分為兩組，分別為 12，25。(第1步)

先猜a 為3，因為3的平方為9比12小。(第2步) 1225 ＝ (30 + b)2＝900 + 2 × 30 × b ＋b2 1225 – 900 = ( 20 × 3 + b ) × b (第3、4步) 325 ＝( 60 + b ) × b 故b = 5 。

因此 (1225)1/2 = 35 6bb

範例：求 (2209)1/2＝？

解法：將2209分為兩組，分別為 22，09。(第1步)

先猜a 為4，因為4的平方為16比22小。(第2步) 2209 ＝ (40 + b)2＝1600 + 2 × 40 × b ＋b2 2209 – 1600 = ( 80 + b ) × b (第3、4步)

3

12,259

325

3b12,259

325

4

220916

609

609 ＝( 60 + b ) × b 故b = 7 。

因此 (2209)1/2 = 47 8b

b

範例：求 (15129)1/2＝？

解法：將15129分為三組，分別為 1，51，29。(第1步)

4b220916

609

先猜a 為1，因為1的平方為1最接近又少於1。(第2步) 1

1,51,29 1

51

找b 使得( 20 + b ) × b接近51。(第3、4步) 1b

1,51,291

2bb

51

12

1,51,29我們取b 為2，( 20 + 2 ) × 2＝44 1

22

2

51447

12

1,51,29將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。(第3步) 1

51

44

729

手算开根式篇三
《开根号手算方法》

長除式演算法求開根號

以下這個演算法是根據：

(10 a + b )2 = 100 a2 + 20ab + b2= 100 a2 + (20 × a + b) × b 而生的。

給y= (10 a + b )2，我們想求得a；b, 在此我們先猜測a再由式子

y - 100 a2 ＝(20 × a + b) × b

去求得b。

長除式演算法：

1. 將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,

如98765.432內 小數點前的65是一組, 87是一組, 9是一組, 小數點後的43是一組, 之 後是單獨一個2, 要補一個0 而得20是一組 。 也就是9,87,65.43,20。 以

準確至2位小數為例子:

將 1 04.85 73 得四組, 順序為 1' 04. 85' 73'。

2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數） 記下 。

3. 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。

4. 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一 步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積。 5. 重覆第2步，直到找到答案 。

6. 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止 。

範例：求 (529)1/2＝？

解法：將529分為兩組，分別為 5，29。(第1步)

先猜a 為2，因為2的平方為4比5小。(第2步) 529 ＝ (20 + b)2＝400 + 2 × 20 × b ＋b2 529 – 400 = ( 20 × 2 + b ) × b (第3、4步) 129 ＝( 40 + b ) × b 故b = 3 。 因此 (529)1/2 = 23 4bb

範例：求 (1225)1/2＝？

25,294

129

2b

5,294

129

解法：將1225分為兩組，分別為 12，25。(第1步)

先猜a 為3，因為3的平方為9比12小。(第2步) 1225 ＝ (30 + b)2＝900 + 2 × 30 × b ＋b2 1225 – 900 = ( 20 × 3 + b ) × b (第3、4步) 325 ＝( 60 + b ) × b 故b = 5 。

因此 (1225)1/2 = 35 6bb

範例：求 (2209)1/2＝？

解法：將2209分為兩組，分別為 22，09。(第1步)

先猜a 為4，因為4的平方為16比22小。(第2步) 2209 ＝ (40 + b)2＝1600 + 2 × 40 × b ＋b2 2209 – 1600 = ( 80 + b ) × b (第3、4步)

3

12259

325

3b12,259

325

4

22,0916

609

609 ＝( 60 + b ) × b 故b = 7 。

因此 (2209)1/2 = 47

8b

b

範例：求 (15129)1/2＝？

解法：將15129分為三組，分別為 1，51，29。(第1步)

4b22,0916

609

先猜a 為1，因為1的平方為1最接近又少於1。(第2步) 1

1,51,29 1

51

找b 使得( 20 + b ) × b接近51。(第3、4步) 1b

1,51,291

2bb

51

12

1,51,29我們取b 為2，( 20 + 2 ) × 2＝44 1

22

2

51 447

12

1,51,29將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。(第3步) 1

51

44

729

手算开根式篇四
《笔算开方》

笔算开立方的方法

方法一

1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；

2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；

3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；

4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；

5．用同样方法继续进行下去。

方法二

第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；

第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。 然后重复第3、4步，直到除尽。

开方算法的历史记载

九章算术

《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。

开立方原文

开立方

〔立方适等，求其一面也。〕

术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。〕

议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕

除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕

复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者， 方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，

折下一等也。〕

以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。〕

复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕

步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长， 故又降一等也。〕

复置议，以一乘中，

〔为三廉备幂也。〕

再乘下，

〔令隅自乘，为方幂也。〕

皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕 除已，倍下，并中，从定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅 连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕 复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕[1]

开平方

开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长．)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)．步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)．议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)．以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)．复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位．因“实”的千位数字为15，且4

×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3．置3于商的十位．以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000＋300=4300．再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225-12900=2325．如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235．)

手算开根号原理

方法

1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。

2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。

原理

正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。】

逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；

如 二次方的s=2ab；

三次方的s=3abD【D=a+b】

五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。】 其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。

即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。

例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】

所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。特说明。〗 其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。 但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。

因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD

【D=a+b】，

而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。

也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。

注意

m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！

而：

m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）= a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！

又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-ab)

五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。

而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。

在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。

开立方公式

设A = X^3，求X。这称为开立方。开立方有一个标准的公式：

X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）

例如，A=5，即求

5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：

第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.

第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;

当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5&sup2;-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，

2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

5次方公式

这里顺便提一下5次方公式。

X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角标）

例如：A=5;

5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。例如我们取中间值1.4；

1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38

1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379

1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797

计算次数与精确度成为正比。即5=1.3797^5。

手算开根式篇五
《根式计算》

第七讲 根式及其运算

时间：2005-9-8 22:28:00 来源：初中数学竞赛辅导(初二分册) 作者：佚名

二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．

二次根式的性质：

二次根式的运算法则：

设a，b，c，d，m是有理数，且m

不是完全平方数，则当且仅

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．

例1 化简：

法是配方去掉根号，所以

因为x-2＜0，1-x＜0，所以

原式=2-x+x-1=1．

＝a-b-a+b-a+b=b-a．

说明

若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．

例2 化简：

分析

两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．

解法1 配方法．

配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则

解法2 待定系数法．

例4 化简：

(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．

分析

被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2

，可以看成

解 设

两边平方得

②×③×④得

(xyz)2=5×7×35=352．

因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以

手算开根式篇六
《手算开平方详解》

手算开平方

以√6为例。稍加估算就知道 0<√6-2<1/2

三边平方得0< 10-4√6<1/4，此时10/4 >√6 > 10/4 -1/4/4，即2.5>√5>2.5-1/4/4

再平方，0<196-80√6<1/16，此时196/80 >√6 >196/80 -1/16/80即2.45√2 >2.449218 ……每平方一次，小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位），这是相当好的，可是你将要面对恐怖的天文数字。

另一种优化的方法: 佩尔方程与渐近分数结合

上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分数，如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点。

以√5为例，考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解（x,y)，x/y都是√5的渐近分数。 假设其中一组解是(x,y)，再设x'-√5y'=(x-√5y)n，同样地x'/y'也是√5的渐近分数。

上面两条结论的证明在此略去。根据上面结论，而且不难找到9^2-5*4^2=1，于是

(9-4√5)^2=161-72√5，√5约等于161/72=2.236111

(161-72√5)^2=51841-23184√5, √5约等于51841/23184=2.2360679779158

从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。如上面的51841/23184，误差小于1/231842=1.8605×10^-9

但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数，把√d化成连分数。把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以到网上找找看。

泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略。

迭代法

假设我们已经有一个较好的初值x,x²≈n,

设修正值为a,即(x+a)²≈n,x²+a²+2ax≈n,忽略很小的a²，即x²+2ax≈n，

从而a≈(n-x²)/(2x)，x+a≈(n+x²)/(2x)

把(n+x²)/(2x)的值从新代替x，将得到更好的精确值，下面证明0≤|( (n+x²)/(2x) )²-n| < |x²-n|

现在如果其中一个迭代值x>√n那么

(n/x +x)/2<(x²/x +x)/2 =x又

(n/x +x)/2≥√n （基本不等式）

于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。

类似地，如果x<√n则n/x +x≥√n回到前一种情况，如果x很接近0，这时候结论可能会不成立，所以结论要修正一下-_-~~,但是得到新的迭代值后一齐正常，不影响迭代。可以说，对任何正数作初值依然能存在极限。

这极限自然是√n。

在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简√1024，因为1024=2^10,所以。

√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.

如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚：

比如求√37625.(如图）

①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25

②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。

③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图）

④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9

⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方

⑥继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。

（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）

以57578为例，首先从个位起两位两位的划分这个数，得到5,75,78。然后，对于第一个5，进行试商，商数的平方要小于5，但又必须是最大的，则此时应商2。再用5减2的平方，得1，再将后面的75降下来与1构成整体，得175，再用20成以上一步商的2（即40）作除数来试商（假定这个商是a），则必须满足(40+a)*a<175但又是最大的，所以a=3。再用175减去(40+a)*a得46，再用46与后面的78结合，形成一个新数4678，再用20乘以前两次所得的商组成的数23（即460）作除数来试商（假定这个商是b），必须满足

(460+b)*b<4678，但又是最大的，所以b=9，再用4678减去(460+b)*b得457。再用457与小数点后面的两个零组成新数45700……

用笔开平方是个十分复杂的运算，而且凭着人的耐心也试不出5个以上的商，因为被除数与除数都越来越大。所以，建议还是用计算器好。不过，万一是在考试中，不能用计算器的话，还是应掌握一些用笔开平方的技巧，试出两三位有效数字是不成问题的。

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除 256，所得的最大整数是 4，即试商是4)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！

1.手开方公式举例：

上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。以65536为例，其具体计算过程如下：

Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。

Step2：从高位开始计算开方。例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。

Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求，本步的商必须是x。因为

45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。

Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。

2.字母表示和手开方公式的证明：

既然要证明，必须先把公式一般化。简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。

任意正整数均可表示成

则正整数M开方计算得到的就是A。根据手开方公式的思路，应该写成：

不失一般性，对A进行推广。前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。因为计算开平方问题上，对于数值，正负是无所谓的。因此不妨假设A为任意正实数。即可记

(即用科学计数法表示，例如134.87可以表示为

1.3487×102=(1+3×0.1+4×0.01+8×0.001+7×0.0001)×102)

手算开根式篇七
《二次根式基本运算》

一、最简二次根式

【例1】 下列二次根式中，最简二次根式的个数是（ ）．

4

．

6x

A.1个 B.2个 C.3个

D.4个

中6x

1

是分式，

0.5是分数，它们都不满足条件1

中有能开得尽方的因式b2，

3

2

1

中有能开得尽方的因数2

2x2，

它们都

4

不满足条件2

满足最简二次根式的两个条件．答：Ｂ．

点评：要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先

分解因式，找一找有没有能开得尽方得因式和因数，中虽有a2和b2，但a2和b2

不是a2＋b2的因式．

【答案】B

【例

2】

3

2

中，最

简二次根式有____________________.

【答案】

、

2

3

2

．

【例

3】

下列根式5

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C．

【例4】

化简下列各式（字母均取正数）：

【解析】







14

9

x≥

2)．



5

．



6b

．



3

【答案】（1）

（2）5；（3）

149

；

（46b

；（5）3二、二次根式的乘除

【例5】

把下列各式分母有理化：

2

【解析】



2





2(a2)；



a2

；







2

1；

1911



注：本题帮助学生练习最简单的“分母有理化”及性质．当分母中有根号时，要在分子和分母上同时乘以一个

式子，使相乘后的分母不再含根式．⑶、⑷主要运用“(ab)(ab)a2b2”，进行分母有理化． 【答案】

（1a

2

；（2）

（31；

（411

【例6】 把下列各式分母有理化：

⑴

⑵

⑶

⑷

【解析】



6









⑵

⑶5

⑷







2

6





2

【答案】（1

（2

）

（3）5；

（4【例7

】

【解析】原式【答案】



【例

8】

【解析】原式

3

1



【答案】

【例

9】

【解析】

； 【答案】

【例10】

【解析】24，从题目易分析得a0，b

0； 【答案】24.

【例11】

【解析】

12

；

【答案】

【例12】

计算：【解析】【答案】

2

23





23

2

【例13】 计

【解析】





【答案】

【例14

】 计

【解析】【答案】





三、二次根式的加减

【例15

】 若

a____。

【解析】∵

是可以合并的二次根式

∴3a5a3，解得a4

【答案】4

【例16

】 下

）

A．

B

C

D【答案】C

2.二次根式的加减

【例17

】 计

【解析】

9



2



【答案】

2

【例18

】 计

算：

【解析】【答案】



【例

19】

【解析】





【答案】【例20

】 计

算：

【解析】原式

 【答案】【例21

】 计

算：

【解析】原式

【答案】【例22

】 计

【考点】二次根式的加减 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】

【解析】原式【答案】0

3

0

四、二次根式的混合运算

【例23

】 计

算

【解析】原式

12a【答案】12a

【例24

】 计

算：

【解析】原式



【答案】

【例25】

【解析】

【答案】 【例26

】 计

算：







【解析】原式2 【答案】2

【例27

】 计

算：12



【解析】原式3

25 【答案】5

手算开根式篇八
《二次根式计算专题——30题(教师版含答案)》

二次根式计算专题

1．计算：⑴ 3642342 ⑵

(【答案】

(1)22; (2) 6【解析】

试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.

(2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) 3

423642 202 

22

=54－32

=22.

（2

）(20

2

312

6

考点: 实数的混合运算.

2．计算（1）【答案】（1）1；（2）﹣× （2）（6﹣2x）÷3． 1 3

【解析】

试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案.

试题解析：

32

1；

（2

）2







1

3.

考点: 二次根式的混合运算.

3

．计算： 【答案】14

3．

【解析】

试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法． 试题解析

14



3．

考点：二次根式运算．

4．计算：366

22 【答案】22.

【解析】

试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减.

试题解析：原式=323 =22

考点：二次根式运算.

5．计算：23(2)

【答案】

【解析】

试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．

6．

考点：二次根式化简．

6．计算：3231

24

2． 【答案】2

2．

【解析】

试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.

22．

考点：二次根式的计算.

：

7．计算：62(31)(31)．

2．

【解析】

试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．

1)=3

12． 考点：二次根式的化简．

8



【答案】0.

【解析】

试题分析： 根据二次根式运算法则计算即可.

0. 考点：二次根式计算.

9．计算：

+1.

【答案】1

【解析】

试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．

试题解析：

+1

11

考点：二次根式的化简．

10．计算：300130.5 34

【答案】3323． 22

【解析】

试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．

试题解析：原式=223

考点：二次根式的化简．

11．计算：

（1

）233=23． 2222

0（2

）12014

20143

【答案】（1

）1（2

）3

【解析】

试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;

（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，.绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

试题解析：（1

）



1 （2

）12014

201431133 考点：1.实数的运算;2.有理数的乘方;3.零指数幂;4.二次根式化简;5.绝对值.

12．计算： (2)(32)(1)0201 2

【答案】2.

【解析】

试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．

试题解析：

解：原式=3212 =2

考点：二次根式的混合运算．

13

(2013)0|．

【答案】1.

【解析】

(2013)0|

1

1.

考点：二次根式化简.

14．计算(3224)

3

【答案】- 2

【解析】

试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.

试题解析

：??

=- 23

考点: 二次根式的混合运算.

15

- 【解析】

试题分析：把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求出答案.

=-考点: 二次根式的运算.

16．化简：（1） （2）(2)361 2

【答案】（1）9；（2

） 2

【解析】

试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算；

（2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．

试题解析：（1）原式

9； 2（2）原式



考点：二次根式的混合运算；

17．计算

（1

（2

）2 2 【答案】（1

）3（2）3.

【解析】

试题分析：（1）根据运算顺序计算即可;

手算开根式篇九
《80道二次根式计算题》

一、二次根式计算

1、(0.3)2 2、(25)2

3、2xyy 4、

5

7

9

11、151

6

12 13、13225 14

15、m2n 16

242

17、

 1825

19、71281

3 20

21

23

、 24

25

、

1

2



26、0.5 、82(22)—2 、12

5 2

、3

7 14

、23334(945) 、(144)(169) 、

、 、

27

、

29

、

31

、

33、44542 34 、2

35、a－ab＋4a－ 37、x 39、62

332134 40、 22221

2

2

a2235a ， 36、 2a2a－8a+b36

、a

33a

a a12

–18–(2734–431

)， 2

2

， a

21x1x1

6x) 4yy, 38、x9x(x2

x2y3x4

二、二次根式加减

41、(5486274)3 42、(6

43、(21)1(2)2 44、

1111

75； 45、752538； 46、0.5322

3338

x1

2x)3x 4x

231

27(1)0

11

3； 48、372275； 48440.547、823



2321531；231.760.12549 50、2362223

632；



三、二次根式混合计算

51、522453274114

35； 2.25；52、 53、11x4y－x

2＋yy， 54

55

、23 56

57、.(2233)2 58

59、2）20042）2003

60

61、

 62 63

、

2

65、240545 66

67

、

32712

、 2

x

39x +6 14x

、8a2 - 27b3

-aa2123b

、（232）（23—32）

、

、 2(

1612) 64

、 、、 218–50+1345，

2112

 70、(3642)(3642) 4269、223223

2）670、(2)2(1)(3) 71、

1

2

72

、1

74、已知x=2+3 ,y=2－3 ，求x2-xy+y2的值。

75、已知x＝，求代数式(x-2)2-(x-2)(x2)23的值.

ab1

76、已知a、b为实数，且满足a＝b3+3b+2，求ab·ab的值. x22x2

(x)，其中x2。 77、先化简再求值：

1xx1





1

11 73、

2

2

2

2

78、已知：a

1-2aa2a2-2a1

-79、已知a时，计算的值。 2

a-1a-a23

22

，b，求：ab3a3b的值。 22

1

x3xy2y80

、已知：x4的值。 3223

xy2xyxy

手算开根式篇十
《开平方的计算》

在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简√1024，因为1024=2^10,所以。 √1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.

如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚：

比如求√37625.(如图）

①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25

②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。

③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图）

④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9

⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方

⑥继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。

（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）

手算开平方和开立方的方法

2011-01-14 17:58

手算开平方和开立方的方法

1)开平方Extracting Square Root

写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。

从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。

2)开立方Extracting Cube Root：

原理: 从小数点起每3位分段

方法

1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。

2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。 原理

正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。】 逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；

如 二次方的s=2ab；

三次方的s=3abD【D=a+b】

五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。】

其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。

即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。

例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】 所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。特说明。〗

其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。 但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。

因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD【D=a+b】， 而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。

也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。

注意

m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！ 而：

m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）=

a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！ 又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-ab) 五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。

而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。

在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。 公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^

（k-1）-X_n]1/k}

公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k} "_"表示下角标，“^”表示上角标。例如，X^2,表示x的平方；X_1表示第一个X。

例如，A=5，k=3.

公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3

5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

?

X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：

第一步：X_1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。输入值大于输出值，负反馈；

?

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，

2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。

第二步：X_2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。输入值小于输出值，正反馈； 即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，

1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X_3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。输入值大于输出值，负反馈

第四步：X_4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值，正反馈； 这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。X_4=1.7099.

当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。

开平方公式

X（n + 1） = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2.。（n，n+1与是下角标）

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，

2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，

2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

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