递进

【www.guakaob.com--述职报告】

递进第一篇
《时间递进图》

递进第二篇
《递进(流程)型》

递进第三篇
《递进图形》

递进第四篇
《递进与承接》

递进与承接在汉语语法中是两个不同的概念。递进关系像楼梯，句子的前后关系一层一层的推进；承接关系像管道，联通前后的句子。“而”连接的两部分侧重于时间上的先后关系,可译为“就、接着”或不译的,表承接。例如：余方心动欲还，而大声发于水上。（《石钟山记》） 其中的“而”可译为"就""接着"或不译。“而”连接的两部分侧重于意思的进一步深化和发展,可译为“并且、而且”的,表递进。例如：君子博学而日参省乎己。（《劝学》）其中的“而”表示递进关系。可译为"并且"或"而且"。 【而】 （一）用作连词。 1．表示并列关系。一般不译，有时可译为“又” 。 ①蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄者（《劝学》） ②剑阁峥嵘而崔嵬，一夫当关，万夫莫开（《蜀道难》） ③北救赵而西却秦，此五霸之伐也（《信陵君窃符救赵》） 2．表示递进关系。可译为"并且"或"而且"。 ①君子博学而日参省乎己。（《劝学》） ②楚怀王贪而信张仪，遂绝齐（《屈原列传》） ③回视日观以西峰，或得日，或否，绛皜驳色，而皆若偻（《登泰山记》） ④以其求思之深而无不在也（《游褒禅山记》） 3．表示承接关系。可译为"就""接着"，或不译。 ①故舍汝而旅食京师，以求斗斛之禄（《陈情表》） ②置之地，拔剑撞而破之。（《鸿门宴》） ③人非生而知之者，孰能无惑（《师说》） 4．表示转折关系。可译为"但是""却"。 ①青，取之于蓝，而青于蓝（《劝学》） ②有如此之势，而为秦人积威之所劫（《六国论》） ③信也，吾兄之盛德而夭其嗣乎（《陈情表》） 5．表示假设关系。可译为"如果""假如"。 ①诸君而有意，瞻予马首可也。（《冯婉贞》） ②死而有知，其几何离（《祭十二郎文》） 6．表示修饰关系，即连接状语。可不译。 ①吾尝跂而望矣，不如登高之博见也（《劝学》） ②填然鼓之，兵刃既接，弃甲曳兵而走（《寡人之于国也》） ③项王按剑而跽曰：“客何为者？”（《鸿门宴》） 7．表示因果关系， ①余亦悔其随之而不得极夫游之乐也（《游褒禅山记》） ②表恶其能而不用也（《赤壁之战》） 8．表示目的关系， ①缦立远视，而望幸焉（《阿房宫赋》） ②籍吏民，封府库，而待将军（《鸿门宴》） （二）通“尔”，用作代词，第二人称，译为"你的"；偶尔也作主语，译为"你"。 ①而翁归，自与汝复算耳（《促织》） ②妪每谓余曰：“某所，而母立于兹（《项脊轩志》） （三）通“如”：好像，如同。 ①军惊而坏都舍。（《察今》） 【而已】放在句

末，表示限止的语气助词，相当于“罢了”。 ①未几而摇头顿足者，得数十人而已（《虎丘记》） ②闻道有先后，术业有专攻，如是而已（《师说》） ③我决起而飞，枪榆枋而止，时则不至，而控于地而已矣（《逍遥游》） 【而后】才，方才。 ①臣鞠躬尽瘁，死而后已。 ②三月而后成。 【而况】即“何况”，用反问的语气表示更进一层的意思。 ①今以钟磬置水中，虽大风浪不能鸣也。而况石乎！ ②技经肯綮之未尝，而况大軱乎！ 臣虽下愚，知其不可，而况于明哲乎（《谏太宗十思疏》） 【既而】不久，一会儿。 ①既而以吴民之乱请于朝，按诛五人（《五人墓碑记》） ②既而得其尸于井，因而化怒为悲，抢呼欲绝（《促织》） ③既而将诉于舅姑，舅姑爱其子，不能御（《柳毅传》）回答人的补充 2009-12-06 00:31再补充一些实例吧：1．用作连词。可连接词、短语和分句，表示多种关系。（一）表示并列关系。一般不译，有时可译为“又”。如：蟹六跪而二螯。（《劝学》）（二）表示递进关系。可译为“并且”或“而且”。如：君子博学而日参省乎己。（《劝学》）（三）表示承接关系。可译为“就”“接着”，或不译。如：余方心动欲还，而大声发于水上。（《石钟山记》）（四）表示转折关系。可译为“但是”“却”。 如：青，取之于蓝，而青于蓝。（《劝学》）（五）表示假设关系。可译为“如果”“假如”。如：诸君而有意，瞻予马首可也。（《冯婉贞》）（六）表示修饰关系，即连接状语。可不译。如：吾尝终日而思矣……（《劝学》）吾恂恂而起。（《捕蛇者说》）2．用作代词。只用作第二人称，一般作定语，译为“你的”；偶尔也作主语，译为“你”。例如：而翁长铨，迁我京职，则汝朝夕侍母。（《记王忠肃公翱事》）3．复音虚词“而已”，放在句末，表示限止的语气助词，相当于“罢了”。例如：一人、一桌、一椅、一扇、一抚尺而已。（《口技》）闻道有先后，术业有专攻，如是而已。（《师说》）

递进第五篇
《递进式结构范文数篇》

递进式结构1

递进式又称推进式结树或纵式结构。其特点是分论点之间的关系不断递进，论证的层次向纵深展开，一层比一层深入地揭示论题的内涵，使中心论点得到深刻的阐发，其作用是分析透彻，说理深刻。

例文

无法完美

有一个渔夫，在海边捡到一颗很大的珍珠，珍珠光亮照人，漂亮极了。可是渔夫发现珍珠上有个小黑点，看起来很不舒服，于是他拼命地磨珍珠想擦掉黑点，最后黑点不见了，珍珠也不复存在了。

我们总希望事事完美，于是我们拼命地追求完美，但结果总是事与愿违，我们付出了太多的代价却获得太少。正如那个背着竹筐捡石头的人，他似乎想把好看的石头都捡起来，最终使自己疲惫不堪。

生活需要追求极致，但生活没有极致。我们想要追求极致，才使我们一步步向更高的目标迈进，才使我们有了前进的动力，才使我们能在困难中砥砺坚定的脚步。但我们永远找不到最高目标，我们说不清什么是世界上最好的。我们是贪婪的动物，总想得到最好的，但我们也是理智的动物，知道如何适可而止。所以科学家们不会用“实现完美”一词来开窍他们的工作，而是用“探索”。 既然无法完美，我们只要随意就好。我们经常会被琐事困扰。一个不友善的眼神，一句嘲笑，一句不合心意的话，一次小小的口角总会使我们心神不宁。我们太在意一些小事，不能做到心胸豁达，这样我们自然会很累。试想，如果我们都可以做到“走自己的路，让别人说去吧”，我们会生活得多么轻松自在。 既然无法完美，我们可以对黑点视而不见。我们每个人都有不足，我们可以尽量完美自己，但我们不能成为完人。如果我不聪明，我可以勤奋；如果我不善言辞，我可以真诚；如果我不成功，我可以学习。我们要学会调整心态，毕竟生活不是一条路，评价一个人不是某一方面，看待事物不是一个角度。如果这方面不行我们可以改变方向继续前进。

但无法完美绝对不能成为我们不思进取的借口。如果有缺点却又存着自贱的心理任其发展，这是一种对自己的不尊重。所以我们必须学会把握追求完美的方向，我们强调的不是目的而是过程。

让我们在生活的海洋中扬起风帆，勇敢地前进。我们不求最好，只求更好。

这篇文章富有哲理性，是作者博览深思而又勤奋练笔的成果。文章开头就很精当，渔夫的故事恰好印证了无法完美的论题。文章在阐明了“无法完美”的道理之后，并不流于消极止步，而是主张“尽量完美自己”，“学会把握完美自己的方法”；并且申明“我们强调的不是目的而是过程”。这就让文章的内容层层递进，显现出客观、理智而积极进取的魅力来。

人心不可不读

①“读心”的含义大概是不言自明的。因为走进任何一家书店，有关这方面的书籍都可谓多如牛毛，诸如《人心破译术》、《人心可测》、《透视人心的艺术》、《读心术》等等，且十分畅销。

②说人心可读，的确不大现实。自古以来，人们的信条多是“人心叵测”、“人心如渊”、“画龙画虎难画骨，知人知面难知心”，所以，说人心不可读，倒似乎更容易被人们接受。不是吗，人心果真如白纸黑字可读，世界就不会是现在这个样子了。那看了几本“读心”的书籍，便自以为可以看透人心者，实在有点荒唐可笑呢。

③但我们又不得不承认，作为心理学的一个分支，“读心”又确是一门学科。时代的发展，需要人们之间的沟通、了解与合作。男人要了解女人，上司要了解下属，同志之间也需要相互了解，如果不是别有用心，就都是理所当然，势在必行的。因此，倘若每个人都爱好甚至热衷于这门科学，也未尝不是好事。 ④过去有人把女人比作一本书，那是因其含蓄、内蕴，集众美于一身。而今，人们的生活水平提高了，精神生活日益丰富，思想修养日臻完善，每个人都成了一本书。想了解一个人，就必须把他当书去认真地读。这是尊人，也是自尊。因为只有傻瓜才会一看便懂。

⑤然而，要读别人的心，就必须先正自己的心。“以小人之心度君子之腹”乃读心之大忌。摒弃一切主观因素，做到头脑清醒，公正客观，才是读心之上乘。那种凭自己的好恶，盲目自信，感情用事，最终只是自欺欺人。唐玄宗见安禄山大腹便便，问道：“卿腹中为何？”禄山爽然道：“满腹赤心耳。”一派胡言的阿谀之辞，玄宗竟深信不疑，直到安史之乱才如梦方醒，但已为时晚矣。

⑥“读心”方法多样，角度也不一。“雪后始知松柏操，事难方见丈夫心”，是从危难时刻、关键一瞬去读；“路遥知马力，日久见人心”，是从生活小事、微言微行去读。电视剧《大酒店》中那位总经理衡量人心却只本着一句话“看其一事当前是替自己打算，还是替大家打算”，可谓一语中的。

⑦总之，社会要抑恶扬善，人心要去伪存真，则人心不可不读。人人能够洞若观火，肮脏的交易，丑恶的人事便无处进行。

层进式结构2

一、知识概述

层进式结构即文章各层次之间层层深入、步步推进的关系，各层的前后顺序有严格要求，不能随意改动。这是议论文经常使用的一种结构方式。

二、例文借鉴

层进式的文章一般有三种格式。

（一） 、将中心论点进行分解，分成几个分论点，这些分论点之间的关系是由

浅入深、由简单到复杂。层间可用诸如“不仅„„而且„„”“„„

况且”等关联词语过渡，同时又以此反映层次间递进的关系。

例： 严于解剖自己

1、要不断进步，必须无情地“解剖我自己”。

2、论述如何才能“解剖”好自己。

①对自己要有自知之明。（这是“解剖”好自己的前提。不了解“病”在哪里，就无从下刀。）

②光有自知之明还不够，还要勇于自我批评。（这是解剖好自己的途径。不开刀，就无从去“病”。）

③自我批评的勇气来源于对真理的追求和崇高的信念。（这是解剖好自己的关键。不掌握开刀的规律，刀就开不好，也就难以真正去“病”。）

（二） 、按照“提出问题，分析问题，解决问题”的思路安排论证结构，

即围绕中心心论点回答三个问题：①是什么，②为什么，③怎么办。 例： 专心致志 方能成功

－－读《弈秋》有感

读罢《孟子〃弈秋》颇有感触。二人学弈，其一人专心致志；一人虽听之，一心以为有鸿鹄将至，思援弓缴而射之。其结果可想而知。其实，这个故事告诉我们一个看似简单实质深刻的道理：做任何事都要专心致志，否则一无所成。 迄今为止唯一两次获得诺贝尔奖的居里夫人，有一次在进行提炼镭元素的研究时，她的同学在她身后垒起十多张椅子她竟毫不觉察。做事到如此专心的地步，

令人称叹。可以说，居里夫人的成功也许有许多因素，但专心致志不能不说是她成功的最重要的因素之一。

北宋大文学家欧阳修写作诗文有许多是在“三上”：马上、枕上、厕上思考成熟的。南宋著名学问家朱熹治学要求自己有“三到”：心到，眼到，口到。现代著名美学家朱光潜要求自己“三此主义”：此身、此时、此地。这里“三上”“三到”“三此主义”，都有有一个共同特点，那就是一心一意，集中精力，也就是专心致志。我们可以设想一下，如果他们没有此种专心致志的品德，能成为大学问家吗？

也许我们大家都还记得小时候听过的“小猫钓鱼”的故事：小猫钓鱼时，一会儿捉蟋蟀，一会儿种蝴蝶，最后连一条鱼都有没有钓到。其实，这个故事同《孟子〃弈秋》阐明了同样的道理：做事如果不专心致志，将一无所成。

那么，怎样才能专心致志呢？我以为，首先要热爱这项事业。非此，无动力，更谈不上专心致志。运动员在训练中日复一日，年复一年地跌打滚爬，几多汗水几多伤。没有对自己所从事的事业的炽热的爱，是很难一心一意做到底的，更谈不上站在世界冠军的领奖台上。其次，还要有不怕挫折、锲而不舍的精神。贝多芬成了音乐家后，失去了听觉，但他却“扼住命运的咽喉”，锲而不舍，以惊人的毅力顽强创作，被誉为一代“乐圣”。如果没有此种对音乐和旋律的专心致志，也许早已躺在安乐椅上坐享其成了。

今天，我们所臵身的世界五彩斑斓，我们所生活的环境诱惑颇多，我们做任何事都要热爱这项事业，都有要有不怕挫折、锲而不舍的精神。我们唯有专心致志，才能成功。

评析：

作者用层进式结构形式，先提出“做任何事要专心致志，否则一事无成”这一论点，接着分析“专心致志”的必要性，然后综合起来，给以解决的办法，层次清楚。

（三） 、针对某些不好的现象，分析其危害，挖掘其产生根源，指出解决

问题的办法。即“摆现象 ——析危害——挖根源——指办法”的格

式。

例：

给爱一点空间

曾经听过这样一个故事。一个即将步入婚姻殿堂的女孩问她的母亲：“怎样才能使爱天长地久？怎样留住爱人的心？”母亲无语，她默默地弯腰，从沙地

上捧起一捧沙子。她双手平摊，沙粒在她的掌中稳稳而立，一滴也未漏出。突然，母亲双手紧握，用力挤压掌中的沙子，许多沙粒从她的指缝间滑落。当她再次向女儿摊开手掌时，掌中的沙粒已所剩无几了。她望着惊讶又疑惑的女儿，说：“给你爱的人和爱你的人一个自由的空间，过多的爱和压力会使爱窒息”。

听完这个故事，我沉思良久。爱是没有错的，但爱的方式却各有千秋。不能否认有些爱的方式只能给你爱的人带来禁锢和伤害。

报纸上曾经多次报道过“巨型婴儿”的故事。一对夫妇中年得子，异常兴奋。对孩子千娇万宠，一直让他睡在摇篮里，不管孩子实际年龄是多少，还把他像婴儿一样呵护着。不料一场突如其来的车祸夺走了夫妇俩的生命，当警察走进他们的家时，被一个躺在巨型摇篮里的“巨型婴儿”惊得目瞪口呆，不知如何处理这个已是青年的“婴儿”。他既不会自己走路也不会自己吃饭，自理能力为零，不知如何走完剩下的大半人生。

夫妇俩爱孩子，这无可厚非，但他们如此溺爱他，却毁了他本该灿烂美好的一生。孩子如同美丽的鲜花，把他们放在温室中培养，虽然避过了风雨，却使他们越发娇嫩，不小心受到一丁点伤害，就谢了。而真正经历过风雨的野玫瑰，却能在恶劣的环境中昂首屹立，常开不败，绚丽多姿。那么，深爱着孩子的父母呵，何不给孩子一个空间，一次机会，让他们自由的穿越风雨，展翅九天？

据说，鹰都在悬崖上筑巢，巢中先铺一些荆棘，然后再铺大量的柔软的干草，以免伤到小鹰。当小鹰慢慢长大后，老鹰就渐渐拿去干草，小鹰自然受不了刺痛，都退到巢边，这是老鹰就把她的孩子们推下山崖，迫使它们自己飞起来。求生的欲望使小鹰们扑腾着起飞，从而学会了飞翔。我们难道能说鹰妈妈不爱小鹰吗？不！她是爱孩子的。正是因为爱，才不得不用这种方式让它们在残酷的生存环境中尽早自立，展翅九万里，一跃上青天。

有人曾说：“自由是爱的空气，禁锢会使爱窒息，赐予是爱的雨水，泛滥会把爱淹没。”不要用热烈的心炙烤鲜花，因为这样它会凋谢，不要强加给琴弦一个它不能承受的力道，因为这样它会断掉。给爱一点空间，让你爱的人在爱的滋润下健康成长！

评析：

本文典型地运用“摆现象 ——析危害——挖根源——指办法”的格式，逐步深入，从而揭示爱需要空间和自由。思路清晰，逻辑严密，语言流畅。

三、高效训练

递进第六篇
《数列与递进》

第九讲 数列与递进 知识、方法、技能

数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.

所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.

从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.

对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有

(n1),S1

an

SnSn1(n2).

I．等差数列与等比数列 1．等差数列

（1）定义：an1and(常量)或an1（2）通项公式：an=a1+(n－1)d . （3）前n项和公式：Sn

anan2

. 2

n(a1an)n(n1)

na1d. 22

（4）等差中项：an1

anan2. 2

（5）任意两项：an=am+(n－m)d. （6）性质：

①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；

②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数； ③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;

④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …, Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差数列； ⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则{

Sn

是等差数列； n

⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列；

⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；

⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{an}是等差数列，则{C2．等比数列 （1）定义：

an

}（c>0, c≠1）是等比数列.

an1aa

q(常量),或n2n1 anan1an

－

（2）通项公式：an=a1qn1.

(q1).na1



（3）前n项和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1).1q1q

（4）等比中项：an1anan2. （5）任意两项：an=amqnm.

（6）无穷递缩等比数列各项和公式：

－

S=

anlimSn

n1

n



a1

(0|q|1). 1q

（7）性质：

①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；

②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …， Spm－S(p－1)m(m>1, p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列；

m

③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{an}（m∈Z*）仍成等比数列；

④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；

⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列.

赛题精讲

例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.

（1996年全国数学联赛二试题1）

【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用 ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.

【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,

－

因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n1.

由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得

a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－

－－

b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n1)=2n1+2,所以数列{bn}的前n项和为

－

Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n1）=2n+2n－1.

【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.

例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.

【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.

【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, ∠B=60°.

a2c2b21

cos60,所以a2c2acac, 【方法1】由余弦定理，得cosB

2ac2

整理得(a－c)2=0因此a=c.

故△ABC为正三角形.

【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有

a2(aq)2(aq2)21

cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去） cos602

22aaq

所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.

【方法3】因为b2=ac, 由正弦定理：

(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圆半径）即sin2B=sinA·sinC，把 B=60°代入得sinA·sinC=

313

，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,424

所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC为正三角形.

【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)=

313，即[cos(2d)－cos120°]= . 424

得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形.

【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.

例3 各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+式.

【思路分析】 在Sn与an的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.

1

,求此数列的通项公an

【解】n≥2时，将an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+

11,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得 anSnSn1

222

SnSn(n2),且S1a11,所以数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列， 11

2即Sn1(n1)1n,Sn

n,从而anSnSn1nn1(n2),当n=1

时，由2S1=a1+

1

,得a1=1也满足annn1. an

故数列{an}的通项公式为an

n1.

【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足Sn与an混合型中的通项公式. 例4 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn=－ban+1－

1

，其中b是与n无n

(1b)

关的常数，且b≠－1.（1）求an与an－1的关系式；

（2）写出用n与b表示an的表达式.

【思路分析】利用Sn=an－an－1(n≥2)整理出数列{an}的递推关系式求an.

【解】（1）a1S1ba11当n≥2时，an=Sn－Sn－1= －ban+1－

11

得a12

(1b)(1b)

11b

,整理得 [ba1]baban1nn1

(1b)n(1b)n1(1b)nbb

an1(n2)n1

1b(1b)

1

,4

(*)

an

(2)当b1时,a1an

1111－

an1n1,两边同乘以2n，得2nan=2n1an－1+,可知数列{2nan}是以2a=为2222111nnn

首项，公差为的等差数列.所以2an(n1),即ann1.

22222

当b≠1，b≠－1时，

由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n1an－1+

－

b

1b

1bn1bn11有()an()an1.n1

bb(1b)b1bn1令cn()an,则cncn1.

b(1b)bn1

从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n取2，3，…，n得

11

,c3c2,,2

(1b)b(1b)b

1

cncn1,上述n1个式子相加得n1

(1b)b11111b1

cnc1(2n1),且c1a1,

1bbbb1bb11111bn

所以cn(12n1)n1,

1bbbbb(1b)(1b)c2c1

bnbn1bnb(1bn)

从而ancn,

(1b)n(1b)nbn1(1b)(1b)(1b)(1b)n1

故数列{an}的通项公式为

n2n,ann

b(1b)

n1(1b)(1b)

b1,

b1.

【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了

辅助数列{cn}、{cn－cn－1}，使数列{cn－cn－1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解.

例5 n2(n≥4)个正数排成n行n列 a11 a12 a13 a14…… a1n a21 a22 a23 a24…… a2n a31 a32 a33 a34…… a3n a41 a42 a43 a44…… a4n … … … … …… … an1 an2 an3 an4…… ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1, a42=

13，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题） 816

【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差数列，需要求得an和第一行的公差d，因而本题利用已知建立an、d和q之间关系，使问题获解.

【解】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,

递进第七篇
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