解三角形教案

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解三角形教案(一)
解三角形教案(精简版)

高一数学必修5第一章解三角形教学设计

●教学过程

[理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinAb

sinBc

sinC

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）a

sinb

sinc

sin等价于a

sinb

sin，c

sinb

sin，a

sinc

sin

从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例题 .在ABC中,已知aasinB。 b, b2, B=450.求A、C和c.

解:B450900 且 ba, A有两解.

asinB由正弦定理,得sinAb

000

sin450200 A60或A120 2bsinC1) 当A=60时,C=180-A-B=75, csinBbsinC2) 当A=120时,C=180-A-B=15, csinB000

练习：1)ABC中,c

2) ABC中,c6,A450,a2,求B、C、b. ,A450,a2,求B、C、b.

3）已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：a

sinb

sinc

sinabckk0； sinsinsin或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课题: 1.1.2余弦定理 授课类型：新授课

[理解定理] 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2a2c2b2b2a2c2

， cosB， cosC cosA从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在ABC

中，已知a

，cB600，求b及A

⑴解：∵b2a2c22accosB

=222cos450

=1221)=8

∴b

求A

b2c2a

210

,

∴A60.⑵解法一：∵cosA a解法二：∵

sinAsinBsin450, 2.41.43.8, 21.83.6,

0∴a＜c，即00＜A＜900, ∴A60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

练习：在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200） 小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

课题: 1．1．3解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课

●教学过程

[探索研究]

例1．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况

分析：先由sinBbsinAasinC0可进一步求出B；则C180(AB)，从而c aA

1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解。 （以上解答过程详见课本第9-10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习:

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。

1，C400，则符合题意的b的值有_____个。 2

（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值（2）在ABC中，若a1，c范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2x

利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例2．根据所给条件,判断ABC的形状.

1）在ABC中，已知a7，b5，c3。2）acosAbcosB; 3）abc cosAcosBcosC

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形222分析：由余弦定理可知abcA是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2AABC是锐角三角形

（注意：AABC是锐角三角形）

1）解：725232，即a2b2c2，∴ABC是钝角三角形。

2）解: 解法一(化边)

b2c2a2a2c2b2

)b() 由余弦定理得acosAbcosBa(2bc2ac

a2c2a4b2c2b40, (a2b2)(c2a2b2)0

a2b20 或c2a2b20a2b2c2 或ab

故ABC是直角三角形或等腰三角形

解法二(化角)由acosAbcosB;可得2RsinAcosA2RsinBcosB

0 即sin2Asin2B 2A2B或2A2B180,即AB或A+B=900

故ABC是直角三角形或等腰三角形

csinAcsinB, b sinCsinCcsinAcsinBcsinAsinBsinC代入已知等式得,  cosAsinCcosBsinCcosCcosAcosBcosC3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得a

即tanAtanBtanC A,B,C(0,)

ABC 故ABC是等边三角形

(化边)解法二:由已知等式得2RsinA2RsinB2RsinC cosAcosBcosC

即tanAtanBtanC A,B,C(0,)

ABC 故ABC是等边三角形

练习：

1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。

2）在ABC中，A600，a1，bc2，判断ABC的形状。

3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC =sinAsinB cosAcosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

111absinC， S=bcsinA, S=acsinB 222222absinAsin2B 例3、在ABC中，求证：（1）; 22csinC三角形面积公式，S=

（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设 a = b = c = k 显然 k0，所以 sinAsinBsinC

abk2sin2Ak2sin2Bsin2Asin2B 左边= ==右边 2222cksinCsinC

（2）根据余弦定理的推论， 22

b2c2a2a2b2c2c2a2b2

右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边

变式练习1：已知在ABC中，B=30

,求a及ABC的面积

例4．在ABC中，A600，b1，面积为abc，求的值 2sinAsinBsinC

111分析：可利用三角形面积定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理 222

cab

abc sinAsinBCsinAsinBsinC

1解：由SbcsinA得c2，则a2b2c22bccosA=3，即a 2ab

c2

a从而2 sinAsinBsinCsinA

练习：

（1）在ABC中，若a55，b16，且此三角形的面积SC

（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S

（答案：（1）600或1200；（2）450）

小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简ab2c24，求角C

并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。

解三角形教案(二)
解三角形教案

高一数学必修5第一章解三角形教学设计

三明九中 林晴岚

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约4课时） 1.2应用举例（约4课时）

（三）课时具体安排如下：

课题: 1．1．1正弦定理 授课类型：新授课【解三角形教案】

●教学目标：

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

[理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinAb

sinBc

sinC

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）a

sinb

sinc

sin等价于a

sinb

sin，c

sinb

sin，a

sinc

sin

从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAasinB。 b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例题 .在ABC中,已知a, b2, B=450.求A、C和c.

解:B450900 且 ba, A有两解.

asinB3sin450300由正弦定理,得sinA A60或A120 b22

bsinC1) 当A=60时,C=180-A-B=75, csinB000

000

bsinC2) 当A=120时,C=180-A-B=15, csinB练习：1)ABC中,c

2) ABC中,c6,A450,a23,求B、C、b. 6,A450,a2,求B、C、b.

3）已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：a

sinAb

sinBc

sinCabckk0； sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课题: 1.1.2余弦定理 授课类型：新授课

●教学目标:

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

●教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程:

[理解定理] 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出

一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2a2c2b2b2a2c2

， cosB， cosC cosA从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

0222（由学生总结）若ABC中，C=90，则cosC0，这时cab

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在ABC

中，已知a

cB60，求b及A

2220⑴解：∵bac2accosB

=222cos45

=1221)=8

∴b

求A

b2c2a

22221⑵解法一：∵

cosA,

∴A600

. asin450, 解法二：∵

sinAsinB2.41.43.8, 21.83.6,

000∴a＜c，即0＜A＜90, ∴A60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

2220练习：在ABC中，若abcbc，求角A（答案：A=120）

小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

课题: 1．1．3解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课

●教学目标:

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程

[探索研究]

b,A，讨论三角形解的情况 例1．在ABC中，已知a,

分析：先由sinBbsinAasinC可进一步求出B；则C1800(AB)，从而c aA

1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解。 （以上解答过程详见课本第9-10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习:

（1）在ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况。 0

10，C40，则符合题意的b的值有_____个。 2

（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值（2）在ABC中，若a1，c范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2x）

利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例2．根据所给条件,判断ABC的形状.

1）在ABC中，已知a7，b5，c3。2）acosAbcosB; 3）abc cosAcosBcosC

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形222分析：由余弦定理可知abcA是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2AABC是锐角三角形

（注意：AABC是锐角三角形）

2222221）解：753，即abc，∴ABC是钝角三角形。

2）解: 解法一(化边)

b2c2a2a2c2b2

)b() 由余弦定理得acosAbcosBa(2bc2ac

a2c2a4b2c2b40, (a2b2)(c2a2b2)0

a2b20 或c2a2b20a2b2c2 或ab

故ABC是直角三角形或等腰三角形

解法二(化角)由acosAbcosB;可得2RsinAcosA2RsinBcosB

00 即sin2Asin2B 2A2B或2A2B180,即AB或A+B=90

故ABC是直角三角形或等腰三角形

csinAcsinB, b sinCsinCcsinAcsinBcsinAsinBsinC代入已知等式得,  cosAsinCcosBsinCcosCcosAcosBcosC3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得a 即tanAtanBtanC A,B,C(0,)

ABC 故ABC是等边三角形

2RsinA2RsinB2RsinC(化边)解法二:由已知等式得 cosAcosBcosC

即tanAtanBtanC A,B,C(0,)

ABC 故ABC是等边三角形

练习：

1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。

02）在ABC中，A60，a1，bc2，判断ABC的形状。

3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC =sinAsinB cosAcosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

111absinC， S=bcsinA, S=acsinB 222222absinAsin2B; 例3、在ABC中，求证：（1）22csinC三角形面积公式，S=

（2）a+b+c=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设 a = b = c = k 显然 k0，所以 sinAsinBsinC222a2b2k2sin2Ak2sin2Bsin2Asin2B 左边= ==右边 2222cksinCsinC

（2）根据余弦定理的推论，

b2c2a2a2b2c2c2a2b2

右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab

=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边

变式练习1：已知在ABC中，B=30,求a及ABC的面积

0例4．在ABC中，A60，b1，面积为222222222222

abc，求的值 2sinAsinBsinC

111分析：可利用三角形面积定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理 222

ab

cabc sinAsinBCsinAsinBsinC

1222解：由SbcsinA得c2，则abc2bccosA=3，即a 22

解三角形教案(三)
解三角形教案

教学过程

一、 复习预习

1．内角和定理；

2．正弦定理；

3．余弦定理；

二、知识讲解

考点1 内角和定理：

在△ABC中，ABC；sinABsinC；cosABcosC

面积公式:SABC111absinCbcsinAacsinB； 22

在三角形中大边对大角，反之亦然.

2

在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：abc2R (解三角形的重要工具) sinAsinBsinC

a2RsinA形式二：b2RsinB (边角转化的重要工具)

c2RsinC

形式三：a:b:csinA:sinB:sinC

形式四：sinA

abc，sinB，sinC 2R2R2R

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：

a2b2c22bccosA

b2c2a22cacosB (解三角形的重要工具)

c2a2b22abcosC

形式二：

b2c2a2

cosA2bc

a2c2b2

cosB2ac

a2b2c2

cosC2ab

解三角形教案(四)
解三角形教学设计

高一数学必修5第一章解三角形教学设计

三明九中 林晴岚

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约4课时） 1.2应用举例（约4课时）

（三）课时具体安排如下：【解三角形教案】

课题: 1．1．1正弦定理 授课类型：新授课

●教学目标：

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

[理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinAb

sinBc

sinC

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）a

sinb

sinc

sin等价于a

sinb

sin，c

sinb

sin，a

sinc

sin

从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAasinB。 b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例题 .在ABC中,已知a, b2, B=450.求A、C和c.

解:B450900 且 ba, A有两解.

asinB3sin450300由正弦定理,得sinA A60或A120 b22

bsinC1) 当A=60时,C=180-A-B=75, csinB000

000

bsinC2) 当A=120时,C=180-A-B=15, csinB练习：1)ABC中,c

2) ABC中,c6,A450,a23,求B、C、b. 6,A450,a2,求B、C、b.

3）已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：a

sinAb

sinBc

sinCabckk0； sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课题: 1.1.2余弦定理 授课类型：新授课

●教学目标:

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

●教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程:

[理解定理] 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出

一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2a2c2b2b2a2c2

， cosB， cosC cosA从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

0222（由学生总结）若ABC中，C=90，则cosC0，这时cab

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在ABC

中，已知a

cB60，求b及A

2220⑴解：∵bac2accosB

=222cos45

=1221)=8

∴b

求A

b2c2a

22221⑵解法一：∵

cosA,

∴A600

. asin450, 解法二：∵

sinAsinB2.41.43.8, 21.83.6,

000∴a＜c，即0＜A＜90, ∴A60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

2220练习：在ABC中，若abcbc，求角A（答案：A=120）【解三角形教案】

小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

课题: 1．1．3解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课

●教学目标:

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程

[探索研究]

b,A，讨论三角形解的情况 例1．在ABC中，已知a,

分析：先由sinBbsinAasinC可进一步求出B；则C1800(AB)，从而c aA

1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解。 （以上解答过程详见课本第9-10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习:

（1）在ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况。 0

10，C40，则符合题意的b的值有_____个。 2

（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值（2）在ABC中，若a1，c范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2x）

利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例2．根据所给条件,判断ABC的形状.

1）在ABC中，已知a7，b5，c3。2）acosAbcosB; 3）abc cosAcosBcosC

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形222分析：由余弦定理可知abcA是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2AABC是锐角三角形

（注意：AABC是锐角三角形）

2222221）解：753，即abc，∴ABC是钝角三角形。

2）解: 解法一(化边)

b2c2a2a2c2b2

)b() 由余弦定理得acosAbcosBa(2bc2ac

a2c2a4b2c2b40, (a2b2)(c2a2b2)0

a2b20 或c2a2b20a2b2c2 或ab

故ABC是直角三角形或等腰三角形

解法二(化角)由acosAbcosB;可得2RsinAcosA2RsinBcosB

00 即sin2Asin2B 2A2B或2A2B180,即AB或A+B=90

故ABC是直角三角形或等腰三角形

csinAcsinB, b sinCsinCcsinAcsinBcsinAsinBsinC代入已知等式得,  cosAsinCcosBsinCcosCcosAcosBcosC3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得a 即tanAtanBtanC A,B,C(0,)

ABC 故ABC是等边三角形

2RsinA2RsinB2RsinC(化边)解法二:由已知等式得 cosAcosBcosC

即tanAtanBtanC A,B,C(0,)

ABC 故ABC是等边三角形

练习：

1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。

02）在ABC中，A60，a1，bc2，判断ABC的形状。

3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC =sinAsinB cosAcosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

111absinC， S=bcsinA, S=acsinB 222222absinAsin2B; 例3、在ABC中，求证：（1）22csinC三角形面积公式，S=

（2）a+b+c=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设 a = b = c = k 显然 k0，所以 sinAsinBsinC222a2b2k2sin2Ak2sin2Bsin2Asin2B 左边= ==右边 2222cksinCsinC

（2）根据余弦定理的推论，

b2c2a2a2b2c2c2a2b2

右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab

=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边

变式练习1：已知在ABC中，B=30,求a及ABC的面积

0例4．在ABC中，A60，b1，面积为222222222222

abc，求的值 2sinAsinBsinC

111分析：可利用三角形面积定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理 222

ab

cabc sinAsinBCsinAsinBsinC

1222解：由SbcsinA得c2，则abc2bccosA=3，即a 22

解三角形教案(五)
三角形教案

三角形教案

11.1.1 三角形的边

学习目标：

1.探究三角形任意两条边的和大于第三边，三角形任意两条边的差小于第三边 2.会观察、操作和应用数学知识解决实际问题 3.体验数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣 学习重点：对三角形任意两条边的和大于第三边的理解和应用 学习难点：用“三角形任意两条边的和大于第三边”解决问题

课时：1课时

学习过程：

一、自主学习：

1.由三条 的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形 2.三角形具有 . 3. 三角形的有关概念及表示（图1）

（1）顶点：三角形两边的公共点称为三角形的顶点；ABC的顶点是 ， ， . （2）边：组成三角形的三条线段称为三角形的边；ABC的三条边为 ， ， .（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角；ABC的三个内角为 ， ， .

注：（1）三角形的表示方法中“”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA为同一个三角形. （2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段.

（3）由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角.如图1中，A的对边是BC（经常也用a表示），B的对边是AC（经常也用b表示），C的对边为AB（经常也用c表示）；AB的对角为C，AC的对角为

B

B，BC的对角为A.

4. 三角形的分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类 （1）按角分类

直角三角形

（2）按边分类

三角形

锐角三角形

三角形

二.合作探究： 探究1

1、填不等号(>或<)

① AB+AC BC; AB-AC BC.

②

B ③

2.用一句话概括为:

3.以下数据是三组三条线段的长度（单位：厘米）能首尾顺次连接成三角形吗？

16、7、8 ○24、5、9 ○33、6、10 ○

4．对以上三级组数据的思考，你能发现三角形三条边的关系： 三角形任意两边的和 第三边；三角形任意两边的差 第三边.

探究2

1．有两根长度分别为2厘米和5厘米的木棒。

（1）用长度为3厘米的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （2）用长度为1厘米的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ （3）要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？

探究3

用长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

（1） 如果腰长是底边长的2倍，那么各边长是多少？ （2） 能围成有一边长是4的等腰三角形吗?为什么？

三.练习：P4 四．自我总结：

这节课你有哪些收获？

五．作业布置：P8 习题11.1 第1、2题（课本）、第6、7题（作业本）

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

学习目标：

1.经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.

2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点. 3.会用数学语言表达三角形的高、中线与角平分线. 学习重点：

(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.

(2)了解三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线分别交于一点. 学习难点：

钝角三角形的三条高线的画法

课时：1课时

学习过程： 一. 自主学习

阅读教材P4-7，回答下列问题：

1. 三角形的高 从△ABC的顶点A向它 所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线

段AD叫做△ABC的边BC上的_____ .如图⑴，AD是△ABC的高，则AD⊥_____. 2. 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的_____ .

如图⑵，AD是△ABC的中线，则BD＝______. 3. ∠BAC的平分线AD，交∠BAC的对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的___________.

如图⑶，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠

_______.

4. 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线有什么区别？

5. 一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？

二． 合作探究 探究

1.分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线.

2.分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出三角形所有的角平分线

.

3.分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出三角形的所有的高

.

课堂练习

1. 任意一个三角形都有_____条高，____条中线，____条角平分线. 2. 一个三角形的三条中线位置为（ ）

A．一定都在三角形内 B．一定都在三角形外 C．可能在三角形外，也可能在三角形内 D．可能与三角形一边重合 3. 在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空： ⑴BE＝______＝

11

_____；⑵BAD_______; 22

⑶AFB_____90;⑷SABC______.

4. 已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，

且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD与△ADC 的周长之差为_______；△ABD与△ADC 的面积关系是_____.

三．自我总结 你有哪些收获？

四．盘点提升

1.如图，已知ABC，如何将它分成四个面积相等的三角形，请给出至少两种分法.

五．作业布置：P8 习题11.1 第3、4题（课本）、第8、9题（作业本）

11.1.3 三角形的稳定性

学习目标

通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用 学习重点

了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用 学习难点

准确使用三角形稳定性与生产生活之中 课时：1课时 学习过程

一、自主学习

二、合作探究

1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

4、从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形 稳定性，四边形 稳定性。

5、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例

三、达标检测： 1、课本P7练习 2、要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢?

四．作业布置：P8习题11.1 第5、10题（课本）

本文来源：http://www.guakaob.com/shiyongwendang/645178.html