定积分教案

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定积分教案(一)
1.5.3定积分的概念教案

1.5.3定积分的概念

教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分；

理解掌握定积分的几何意义；

重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、

定积分的几何意义

难点 定积分的概念、定积分的几何意义

复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授

1．定积分的概念 一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

ax0x1x2xi1xixnb

ban

将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（x在每个小区间xi1,xi上取一点ii1,2,,n，作和式：

n

n

），

Sn



i1

f(i)x



i1

ban

f(i)

如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近于常数

S

，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：

S



ba

f(x)dx

其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。

说明：（1）定积分a

b

f(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S

（n时）称为

ba

f(x)dx

，而不是Sn．

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi； ③求和：

i1n

ban

f(i)；

④取极限：a

b

b

n

f(x)dxlim

n



i1

fi

t2

ban

（3）曲边图形面积：Safxdx；变速运动路程St变力做功 W



v(t)dt

；

1



ba

F(r)dr

2．定积分的几何意义

如果在区间[a,b]上函数连 续且恒有

f(x)0

，那么定积分

f(x)



ba

f(x)dx表示由直线xa,xb（ab），y0和曲线y

所围成的

曲边梯形的面积。 例1．计算定积分1

2

(x1)dx

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。

2

5

即：

2

1

(x1)dx

52

思考：若改为计算定积分



22

(x1)dx呢？

改变了积分上、下限，被积函数在

[2,2]上出现了负值如何解决呢？

（后面解决的问题） 练习 计算下列定积分

1．0(2x4)dx 解：0(2x4)dx945 2．1x解：

11

55

1

dx

xdx

1211

12

111

例2．计算由两条抛物线y2

x

和y

x

2

所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

y解：、（1，1），x0及x1，所以两曲线的交点为（0，0）2

yx

面积

S=0



10

3

23x1222

xdx，所以S=x)dxx30330

1

1

在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线y

课堂小结：

定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 课后反思：

定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误

x6x和yx

3

2

所围成的图形的面积.

定积分教案(二)
定积分教案

第五章 定积分

教学目的：

1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点：

1、定积分的概念 2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af (1)x1 f (2)x2   f (n )xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

n

Alim

0



i1

f(i)xi



2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S  求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是 在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i (i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

n

Sv(i)ti

i1



求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

n

Slim

0

v(i)ti

i1

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0

及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n) (2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi (i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

n

Af(i)xi

i1

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

n

Alim

0



i1

f(i)xi

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1 (i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti (i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

n

Sv(i)ti

i1

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

n

Slim

二、定积分定义

0

v()t

i

i1

i



抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义 设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i (xi1  i  xi) 作函数值f ( i)与小区间长度xi的乘积

f ( i)xi (i1 2   n)  并作出和

n

Sf(i)xi

i1



记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a b]上的定积分 记作f(x)dx

a

即 af(x)dxlimf(i)xi

0

i1

b

n

b

其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义 设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n) 任 i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和

n

Sf(i)xi

i1

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作f(x)dx

ab

即



b

n

a

f(x)dxlim

0



i1

f(i)xi

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx 变速直线运动的路程为STv(t)dt

1

b

T2

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

a

ni1

b

f(x)dxf(t)dtf(u)du

a

a

bb

(2)和f(i)xi通常称为f (x)的积分和

(3)如果函数f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f (x)在区间[a b]上可积 函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 定理1 设f (x)在区间[a b]上连续 则f (x) 在[a b]上可积

定理2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分f(x)dx在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与

ax轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

b

a

b

nn

f(x)dxlim

0

f(i)xilim

i1

[f(i)]xi

0

i1

ba

[f(x)]dx



当f (x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分f(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两

a条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b

用定积分的定义计算定积分

例1. 利用定义计算定积分x2dx

解 把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为 xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n) 

n

n

1

取i

ni1

i

(i1 2   n)作积分和 n

n

f(i)xi

i1

i2xi

i1(2

nni113n

ni1

n【定积分教案】

11

因为

1

2

i2n36n(n1)(2n1)



111

(1)(2 6nn

1

 当0时 n 所以n

n

1111

0xdxlimf(i)xilim(1)(2

0n6nn3

i1

利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx

解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面

积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以

0(1x)dx11

22

1

1

11

定积分教案(三)
定积分教案

《数学分析》

之九

第九章 定积分（14+4学时） 教学大纲

教学要求：

1． 理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2． 了解上和与下和及其有关性质

3． 理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4． 熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5． 了解积分第一中值定理 6． 掌握变上限积分及其性质

7． 熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法 教学内容：

问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。

第 页

1

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

第 页

2

3

4

5

定积分教案(四)
定积分教学设计

定积分的简单应用

一、教学目标

1、 知识与技能目标：

（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、 过程与方法目标：

通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、 情感态度与价值观目标：

通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 二、 教学重点与难点【定积分教案】

1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。 三、教学过程

（一）创设问题情境： 复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 引入：．计算



2

2

4xdx 2．计算 sinxdx

22

2



思考：用定积分表示阴影部分面积 选择X为积分变量，曲边梯形面积为

sf1

(x)dxf2(x)dx

a

a

bb

（二）研究开发新结论

1计算由抛物线yx在0,1上与X轴在第一象限围成图形的面积S.

2

2计算由抛物线yx在0,1上与X轴在第一象限围成的图形的面积S.

2

总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

1

3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分.

（三）巩固应用结论

例1．计算由两条抛物线y2x和yx2所围成的图形的面积.

-1

分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得

到。

yx0及x1，所以两曲线的交点为（0，0）解：、 2

yx

（1，1），面积

S=

1





x2dx，所以

1

1

2x312S=x)dxx=

03033

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线yx36x和yx2所围成的图形的面积. 例2．计算由直线yx

4，曲线yx轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线yx

4与曲线y的横坐标，直线yx4与 x 轴的交点．

解：作出直线yx4，曲线y的草图，所求面积为图

1. 7一2 阴影部分的面积．

y 得直线yx4与曲线y8,4) .

yx4

直线yx4与x轴的交点为（4,0).

解方程组

因此，所求图形的面积为S=S1+S

2



[

4

(x4)dx]

4

8

2

331402824

x|0x2|8(x4)|44

3323

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． （四）总结概括结论

求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤： （1） 做出示意图（找到所求平面图形） （2） 求交点坐标（确定积分上、下限） （3） 确定被积函数 （4） 列式求解 （五）练习

1、求直线y2x3与抛物线yx2所围成的图形面积。

x

2x＋3－x2)dx（x23x答案：S＝（1

3

3

3

|31

32

3

2、求由抛物线yx24x3及其在点M（0，－3） 和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：y/2x4，切线方程分别为y4x3、 y2x6，则所求图形的面积为

S＝



3

2[(4x0

3)(x4x3)]dx

2

92

[(2x6)(x4x3)]dx＝3

42

3

3、求曲线ylog2x与曲线ylog2(4x)以及x轴所围成的图形面积。

略解：所求图形的面积为

S＝【g(y)f(y)dy



1

(422

1

y

)dy

（4y22ylog2e)|1042log2e

4、在曲线yx(x0)上的某点A处作一切线使之与曲 线以及x轴所围成的面积为方程.

略解：如图由题可设切点坐标为（x0,x0)，则切线方程 为y2x0xx0，切线与x轴的交点坐标为

x3x0x

,0)，则由题可知有S02x2dxx(x22x0xx02)dxx01

121222

x01，所以切点坐标与切线方程分别为A(1,1

),y2x1

2

1

.试求：切点A的坐标以及切线12

2

2

(

3

定积分教案(五)
1.5.3定积分的概念教学设计

求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限

Slim

x0

fxlimnf Slimvtlimn

i

i1

n

i

i1

t0

i【定积分教案】

i1

n

i

i1

nn

1

nn

1

事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。那能否用一个统一的概念将它们都涵盖呢？ 定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1x2....xi1xi...xnb 将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（xba），在每个小区间xi1,xi上取一点

n

n

n

ii1,2,,n，作和Sn



i1

f(i)x

i1

ban

f(i)如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近

b

于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为Sf(x)dx（其中a，b分别叫做

a

积分上限和积分下限，[a,b]为积分区间，f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式）。

1

问题1：定积分主要取决于哪些因素？（被积函数与积分上、下限） 问题2：定积分的大小与积分变量所用字母有无关系？即（三者相等）

n

ba

f(x)dx与f(t)dt、f(u)du是何关系？

a

a

bb

问题3：定积分是不是等于f(i)x？（不是，应该是当n时该式子的极限，是一个确定常数）

i1

问题4：“函数f(x)在区间[a,b]上连续”是否可以去掉？为什么？（不可以。因为它是定积分存在的保证。实际上，函数连续是定积分存在的充分不必要条件）

问题5：被积式f(x)dx表示的是不是f(x)和dx的乘积，定积分的表示符号能否分割开？（不是。定积分的表示符号是一个不可分割的整体） 情境二：定积分的几何意义：

从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)0。那么定积分f(x)dx表示由直线

ab

，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积。 xa,xb（ab）

仔细研读定积分的几何意义，回答右面的问题

问题1：若在区间[a,b]上，函数f(x)0时，曲边梯形落在x轴的下方，此时



b

ab

f(x)dx还等于曲边梯形的面积吗？(不等于。应该是其面积的相反数，即f(x)dxS)



a

问题2：当f(x)在区间[a,b]上有正有负时，定积分表示的应该是什么？

（表示介于x轴，函数f(x)的图像及直线x

a,xb(ab)取正，在x轴下方的取负）） 问题3：f(x)dx,f(x)dx与

a

a

b

b



b

a

f(

x)dx情境三：学生探究：

由定积分的定义及几何意义，你能否总结出求定积分的方法步骤？

n

①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi；③求和：

i1

nn

ban

f(i)；

④取极限：f(x)dxlimfi

a

i1

b

ban

1

14

3

例1：利用定积分的定义，计算xdx的值。（参考公式：123...n

3

3

3

3

n(n1)）

22

例2：说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）2dx；（2）(3x2)dx；（3）

1

1

2

11

xdx

x,x2围成的平面区域的面积。

2

2

【课堂练习】：利用定积分的定义求由y0,y

情境四：再探究：通过对例题的研究，试着自己得出定积分的基本性质 性质1 ：kf(x)dxkf(x)dx （其中k是不为0的常数）

a

a

b

b

性质2：[f1(x)f2(x)]dx

a

b



ba

f1(x)dxf2(x)dx

a

b

（以上两性质为定积分的线性性质） 性质3：f(x)dx

ab



c

a

f(x)dx



b

c

f(x)dx（acb）（定积分对积分区间的可加性）

例3：利用定积分的性质求下列定积分：



x,x[0,2)

3

x)（2）已知f(x)4x,x[2,3)，求f(x)在[0,5]上的定积分。

5x

,x[3,5]22

（1）(9x2

3

3

变式练习：求直线yx2和曲线y2x所围成的平面区域的面积。 思考？如何求奇、偶函数在区间[a,a]上的定积分？ 习题设计：

1. 由y=sinx, x=0,x=

b



2

,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 （知识点1，易）

2. 定积分f(x)dx的大小 （ ）（知识点1，易）

a

A与f(x)和积分区间a,b有关，与i的取法无关 B与f(x)有关，与区间a,b及i的取法无关 C与f(x)和i的取法有关，与积分区间a,b无关 D与f(x)、区间a,b和i的取法都有关 3. 定积分cdx （c为常数）的几何意义是 （知识点2，易）

ab

4. 下列等式成立的个数是（ ）（知识点3，中） ①f(t)dt

01



1



f(x)dx ②2sinxdx

0



sinxdx

2

2





sinxdx

③

a

a

xdx2x ④

2

a2

4xdx

2



2dx

A、1 B、2 C、3 D、4 5. 计算下列定积分(1)xdx(2)

3

22

4xdx(3)(1x)dx

2

1



2

1

(x1)dx（知识点3，难）

3

本文来源：http://www.guakaob.com/shiyongwendang/652795.html