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全等三角形 知识总结
一、知识网络
对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形边角边 SAS应用判定 角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL
作图 角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
轴对称知识梳理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
4.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.
（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.
4.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
5.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
第十三课时全等三角形Ⅰ
1、全等三角形有关知识
①全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。两个图形全等，它们的形状一定相同，大小一定相等。
“全等”用符号“≌”来表示，读作全等于。
②全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得
到的三角形与原三角形全等。
③对应角、对应边与对应顶点：把两个三
角形重合到一起，重合的角叫做对应角，
重合的边叫做对应边，重合的顶点叫做对
应顶点。
⑴对应角是∠A和∠D，∠B和∠E,∠C和∠F；⑵对应边是AB和DE，AC和DF，BC和EF； ⑶对应顶点是点A和点D，点B和点E，点C和点F ★注意：
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上：ABC≌DEF 因此，直接从记作∆ABC≌ ∆DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角。
④全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
如图：∵ △ABC≌△DFE ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
∵△ABC≌△DFE ∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
⑤判断对应角、对应边与对应顶点的规律：
⑴规律一：有公共边的，公共边是对应边⑵规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
⑶规律三：有公共角的，公共角是对应角⑷规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边
⑸规律五：一对最大的角是对应角
一对最小的角是对应角
总结：【初中数学冀教版全等三角形】
⑴有公共边的，公共边一定是对应边。
⑵有对顶角的，对顶角一定是对应角。
⑶有公共角的，公共角一定是对应角。
⑷对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
⑸在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。
例1、如图, △ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角。
例2、先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角。
例3、写出下列全等三角形的全等式：
⑴⑵⑶
例4、判断题：
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ ）
例5、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长。
例6、如图, △EFG≌△NMH
⑴请找出对应边和对应角。⑵如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
例7、△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，求出△ACE中各角的大小。
例8、如图,已知△AOC ≌△BOD，求证：AC∥BD
2、全等三角形的判定
①全等三角形的判定：判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。 三角形全等书写三步骤：
⑴写出在哪两个三角形中
⑵摆出三个条件用大括号括起来
⑶写出全等结论
④边边边（SSS）公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。即：在△ABC与△DEF中
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
例1、如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD
例2、已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC
例3、已知：如图，AC=FE，AD=FB,BC=DE，求证：AC∥EF；DE∥BC
例4、已知:如图，AB=AC,DB=DC,请说明∠B =∠C成立的理由
例5、已知: 如图, 四边形ABCD中，AD=CB,AB=CD求证：∠A＝∠C。
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。★构造公共边是常添的辅助线
例6、已知：AC=AD,BC=BD,求证：AB是∠DAC的平分线【初中数学冀教版全等三角形】
【总结】两个三角形全等的注意点：
⑴说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
⑵结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
⑶有时需添辅助线(如:造公共边)
③边角边（SAS）公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∠A=∠D
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
例1、已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD 。问AD=CD，BD 平分∠ ADC 吗？
例2、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么？
分析：如果能证明△ABC≌△DEC ，就可以得出AB=DE.
【总结】因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决。
例3、如图，B点在A点的正北方向。两车从路段AB的一端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地。此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
例4、如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D
例5、已知:如图，AD∥BC，AD＝CB.求证:AB＝CD.
【提示】连结AC，由△ABC≌△CDA，故AB＝CD.
初中数学全等三角形（答案版）【初中数学冀教版全等三角形】
一．选择题（共9小题）
1．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ B ）
A．
6 B．4 C．2
3 D．5
2．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（ A ）
A．60° B．50° C．45°
D．30°
3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ B ）
A．∠
BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
4．如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ B
） A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
5．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ B ）
（图）
A． B． C． D．
6．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ B ）
A．∠M=∠N B．AM=CN C．AB=CD D．AM∥
CN
7．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ C ）
A．AB=3，BC=4，AC=8
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=6
8．如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．
3
9．如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ B ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠
DEB
二．解答题（共6小题）
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．
求证：△ABC≌△MED．
11．如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．
（1）添加的条件是 ____________
（2）证明：
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
求证：△BEC≌△CDA．
13．如图，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：△AFB≌△AEC．
14．如图，已知AC∥DF，且BE=CF．
（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是 ______________________
（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF．
15
．如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．
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