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北师大版数学八年级下册 第一章 证明二
例1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=14，BD平分∠ABC，交AC于D，
AD∶DC=5∶2，则点D到AB的距离为（ ）
A．10 B．4 C．7 D．6 例2．如图，△ABC中，AB=AC=BD，AD=DC，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．108° C．100° D．135° 例3．如图，△ABC中，∠B，∠C的角平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+CE=5，则DE等于（ ）
A．7 B．6
D B 第1题
第2题
A C．5 D．4 C 第3题
例4．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD
是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
(1)若CD=5，求AC的长。
(2)求证：AB=AC+CD
例5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
(1)求EF的长；(2)求梯形ABCE的面积。
例6．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线D胶
AC于点E，
CE的垂直平分线正好经过点B，与A相交于点F，求∠A的度数。
例7. . 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF。
例8.. 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MB交于点F。
图1 图
2
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立。（不要求证明）
经典练习
1. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（ ）
2. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）
A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等
C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等
3. △ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则AD等于（ ）
1A.a 2B.a23C.a2D.3a
4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 若a=b，则|a|=|b|
C. 末位是零的整数能被5整除 D. 直角三角形的两个锐角互余
5. 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，
201-2015第二学期八年级数学《三角形的证明》试卷A 班级 姓名 得分 一、选择题（每题3分，共24分）
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点.
A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高
2．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积 是（ ）
A.24cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.48cm2
3．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝ 4. 面积相等的两个三角形（ ） A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对 5．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 6. 如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（ ）A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D
7．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD， 则∠A的度数为（ ）
A.30° B.36° C.45° D.70°
8．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B A
C
第6题 第7题 第8题 第13题
二、填空题（每题3分，共24分）
9.“等边对等角”的逆命题是______________________________．
10．已知⊿ABC中，∠A = 900
，角平分线BE、CF交于点O，则∠11.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300
，腰长为6，则其底边上的高是 。13.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30° ，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC= . 14．Rt⊿ABC中，∠C=90º，∠B=30º，则AC与AB两边的关系是 ， 15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 16．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为 ．三.基础题（每题6分，共36分）
17.如图，在△ABD和△ACD中，已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD是∠BAC的平分线．
18.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC；
19.如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.
20．如图，DC⊥CA，EA⊥CA， CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB．
E
C B A
21.如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上.
22.如图，ABC中，ABAC，A50，DE是腰AB的垂直平分线，求DBC的度数。
四、提高题（每题8分，共16分） 23.作图题：在下图△ABC所在平面中，
（1）作距△ABC三边距离相等的点P； （2）作距△ABC三个顶点距离相等的点Q.
24. 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长.
A【八年级下册数学北师大证明题目】
D
五.综合题（每题10分，共20分）
25.如图，已知： D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB和△AEC中，
EBECABEACE
AEAE∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
26．如图，在△ABD和△ACE中，有四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE． 以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。
已知： . 求证： . 证明：
北师大最新版本．时间70分钟．满分100分． 命题人： 中学高级教师 特级教师 孔庆国
第一章 三角形的证明 检测题A 北师大最新版本数学八年级下册
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
关 注 成 长 每 一 天。 第 2 页
11、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是
，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=
13、 如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是 . 14、等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是
15、如图1-Z-10所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD 于点G ， 则AD与EF的位置关系是 .
图1-Z-10 图1-Z-9
D
三、解答题（共40分）
图1-Z-11
16、（12分）如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2, 则DF的长为
关 注 成 长 每 一 天。 第 3 页
17、（12分）已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1．
(1) 求∠2、∠3的度数；
(2) 求长方形纸片ABCD的面积S． 18、（16分）如右图所示，△ABC是等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE。
(1) 求证：△ACD≌△CBF；
(2) 点D在线段BC的何处时，四边形CDEF是平行四边形，且∠DEF=30°？ 证明你的结论． A E
C
关 注 成 长 每 一 天。 第 4 页
参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（每小题4分，共36分）
第Ⅱ卷（非选择题，共64分）
二、填空（第小题4分，共24分）
10、30，12，60，等边； 11、内错角相等，两直线平行； 12、95°； 13、47； 14、20°或80°；
15、 错误！未找到引用源。垂直平分错误！未找到引用源。
解析：∵ 错误！未找到引用源。是△错误！未找到引用源。的角平分线，错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。， ∴ 错误！未找到引用源。.
在Rt△错误！未找到引用源。和Rt△错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。 ∴ △错误！未找到引用源。≌△错误！未找到引用源。（HL），∴ 错误！未找到引用源。.
又错误！未找到引用源。是△错误！未找到引用源。的角平分线，∴ 错误！未找到引用源。垂直平分错误！未找到引用源。.
三、解答题（共40分）
16、 解析:如图，延长错误！未找到引用源。交错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。, 由错误！未找到引用源。是角平分线，错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。，可以得出△错误！未找到引用源。≌
△错误！未找到引用源。，∴ 错误！未找到引用源。2，错误！未找到引用源。. 在△错误！未找到引用源。中，∵ 错误！未找到引用源。
∴ 错误！未找到引用源。是△错误！未找到引用源。的中位线,
∴ 错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。×3 错误！未找到引用源。1.5 17、(1)∠2=∠3=60° (2)S=3
18、(1) 在△ACD和△CBF中，AC=CB，∠ACD=∠CBF（已知△ABC等边三角形），CD=BF（已知）， 所以△ACD≌△CBF（SAS）
(2) D在BC的中点处时，符合条件。 理由如下：
关 注 成 长 每 一 天。 第 5 页
1等腰三角形
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．
用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
定理的证明：
取BC的中点D，连接AD．
ABAC(已知), ∵BDCD(中点定义)，∴△ABD≌△ACD(SSS)．
ADAD(公共边)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．
拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．
(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b＜a． 2
(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；
②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；
③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．
(2)推论1的证明．
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．
②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．
∴∠1＝∠2，BD＝CD．
③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.
(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直
.
推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．
(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，
在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
(2)推论2的证明：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．
用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，【八年级下册数学北师大证明题目】
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．
拓展 如图1－6所示，在△ABC中，
(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；
(2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；
(3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
1800A又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60° 2
∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；
(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；
(3)根据推论2，证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【八年级下册数学北师大证明题目】
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝
(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法 1AB． 2
先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.
ABAC(已知),∵12(角平分线定义),
ADAD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)
课堂检测
1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝
22AC，AE＝AB．求证BD＝CE． 33
2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．
3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，
求证△ABC是等腰三角形．
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?
5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．
请直接应用上述信息解决下列问题：
点P在△ABC内，如图1－17(2)所示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明．
1等腰三角形
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．
用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
定理的证明：
取BC的中点D，连接AD．
ABAC(已知), ∵BDCD(中点定义)，∴△ABD≌△ACD(SSS)．
ADAD(公共边)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．
拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．
(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b＜a． 2
(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；
②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；
③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．
(2)推论1的证明．
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．
②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．
∴∠1＝∠2，BD＝CD．
③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.
(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直
.
推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．
(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，
在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
(2)推论2的证明：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．
用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．
拓展 如图1－6所示，在△ABC中，
(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；
(2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；
(3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
1800A又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60° 2
∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；
(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；
(3)根据推论2，证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝
(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法 1AB． 2
先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.
ABAC(已知),∵12(角平分线定义),
ADAD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)
课堂检测
1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝
22AC，AE＝AB．求证BD＝CE． 33
2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．
3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，
求证△ABC是等腰三角形．
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?
5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．
请直接应用上述信息解决下列问题：
点P在△ABC内，如图1－17(2)所示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明．
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